Derivada direccional
Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
es diferenciable, la derivada direccional puede ser escrita en términos de su gradiente
, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por
La derivada direccional dice cómo cambia una función
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector
después de la normalización, ignorando así su magnitud.
En este caso: Si la función es diferenciable, entonces Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula.
Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario.
Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que existe una función diferenciable
La derivada direccional según la dirección de un vector unitario
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio
lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos: donde
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales.
Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones
En este caso la derivada direccional se define de manera idéntica a como se ha hecho con funciones con llegada en
Una diferencia respecto al caso de funciones de reales de una variable real es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable.
Si la función es diferenciable resulta que la aplicación
es lineal y se cumple además que las derivadas direccionales son expresables en términos del jacobiano:
Es decir, la igualdad dice que la derivada de
se puede obtener evaluando la aplicación lineal que mejor aproxima
, teniendo en cuenta la anterior observación sobre el límite del error y que
, pero el lado izquierdo es, por definición, la derivada direccional de
En general, la igualdad se deduce fácilmente de lo anterior usando la igualdad fácilmente comprobable entre las derivadas direccionales siguiente:
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.
