[2][3][4] Está ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos del siglo XX.
La originalidad e importancia del trabajo de Cartan no se apreciaron hasta bien avanzada su vida.
Después de su doctorado en 1894, trabajó en Montpellier y Lyon, haciéndose profesor en Nancy en 1903.
Obtuvo un puesto en París en 1909, y pasó a ser profesor en 1912.
En 1924, sucedió a Claude Guichard en la cátedra de geometría superior.
Cuando se creó la biblioteca del Instituto Henri-Poincaré en 1928, la biblioteca y la sala de modelos del laboratorio de geometría superior se trasladaron allí.
Su siguiente paso fue intentar determinar también todas las soluciones "singulares", mediante un método de "prolongación" que consiste en unir nuevas incógnitas y nuevas ecuaciones al sistema dado, de tal forma que cualquier solución singular del sistema original se convierte en una solución general del nuevo sistema.
Aunque Cartan demostró que en todos los ejemplos que trató su método conducía a la determinación completa de todas las soluciones singulares, no consiguió demostrar en general que esto sería siempre así para un sistema arbitrario; tal demostración fue obtenida en 1955 por Masatake Kuranishi.
Discutió un gran número de ejemplos, tratándolos en un estilo extremadamente elíptico que sólo fue posible gracias a su asombrosa perspicacia algebraica y geométrica.
Las contribuciones de Cartan a la geometría diferencial no son menos impresionantes, y puede decirse que revitalizó todo el tema, ya que el trabajo inicial de Riemann y Darboux se estaba perdiendo en aburridos cálculos y resultados menores, como había sucedido con la geometría elemental y la teoría de invariantes una generación antes.
En términos modernos, el método consiste en asociar a un haz de fibras E el haz de fibras principal que tiene la misma base y que tiene en cada punto de la base una fibra igual al grupo que actúa sobre la fibra de E en el mismo punto.
Este concepto se ha convertido en uno de los más importantes en todos los campos de las matemáticas modernas, principalmente en la geometría diferencial global y en la topología algebraica y diferencial.
Cartan consideró sólo aquellas transformaciones de los colectores para las que no existe subdivisión de los colectores en las clases transpuestas por las transformaciones consideradas.
Sus primeras investigaciones matemáticas versaron sobre grupos y álgebras de Lie.
También introdujo la noción de grupo algebraico, que sólo se desarrolló seriamente en la segunda mitad del siglo XX.
Teórico de talento, Élie Cartan también tenía una gran capacidad para hacer que sus alumnos comprendieran los conceptos más difíciles.