Espinor

Además en las aplicaciones prácticas los espinores se toman como elementos de un espacio vectorial sobre

Ningún objeto en el propio sistema se ha movido, solo las coordenadas lo han hecho, por lo que siempre habrá un cambio compensatorio en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema.

Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay (topológicamente) dos rotaciones graduales (equivalentes) desiguales del sistema de coordenadas que resultan en esta misma configuración.

Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos usando una elección de coordenadas cartesianas.

[nota 8]​ Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante matrices gamma.

Matemáticamente se podrían definir nuevos tipos de espinores pensando en las representaciones fundamentales del grupo espinoral Sp(n).

Esta propiedad caracteriza a los espinores: se pueden ver como las raíces cuadradas de los vectores.

[1]​[2]​ En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el espín del electrón y otras partículas subatómicas.

Si V = Cn, con la fórmula estándar g(x, y) = xty = x1y1 + ... + xnyn se denota el álgebra de Clifford por Cℓn ( 'C' ).

Las representaciones irreducibles sobre los números reales en el caso en que V es un espacio vectorial real son mucho más complejas, y el lector debe remitirse al artículo sobre el álgebra de Clifford para obtener más detalles.

Los vectores y otros tensores no pueden dar cuenta de la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos "opuestos" cuando afectan a cualquier espín bajo la representación.

En este último caso, las rotaciones incluyen la transformación de Lorentz, pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar.

Por convención general, los términos "fermión" y "espinor" a menudo se usan indistintamente en física, como sinónimos entre sí.

No parece haber ninguna razón a priori por la que este fuera el caso.

La situación para la física de la materia condensada es diferente: se pueden construir "espacio-tiempos" tridimensionales en una gran variedad de materiales físicos diferentes, desde los semiconductores hasta materiales mucho más exóticos.

Los detalles explícitos se pueden encontrar en el artículo dedicado a la representación de espín.

[12]​ Los espinores fueron aplicados a la física matemática por primera vez por Wolfgang Pauli en 1927, cuando presentó sus matrices de espín.

De esta manera, el espacio espinorial se convirtió en un ideal izquierdo mínimo sobre Mat(2, C).

En general, debido al podado logarítmico, es imposible elegir un signo de una manera consistente.

Pero en las dimensiones 2 y 3 (como se aplica, por ejemplo, a la computación gráfica) sí tienen sentido.

Un espacio de espinores se puede generar explícitamente mediante construcciones concretas y abstractas.

Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g, una representación matricial explícita del álgebra de Clifford Cℓ(V, g) se puede definir de la manera que se describe a continuación.

Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero los invariantes como las trazas son independientes de las elecciones.

En particular, todas las cantidades físicamente observables deben ser independientes de tales elecciones.

Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción a la izquierda de Cℓ(V, g) en sí mismo.

Como anteriormente, sea (V, g) un espacio vectorial complejo n-dimensional equipado con una forma bilineal no degenerada.

Esta será la representación del espín, y sus elementos se conocerán como espinores.

Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.

[30]​ Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.

Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres caracteres (representaciones unidimensionales) La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas: Si n = 2k es par, entonces el producto tensorial de Δ con representación contragradiente se descompone como que se puede ver explícitamente al considerar (en la construcción explícita) la acción del álgebra de Clifford sobre los elementos descomponibles αω ⊗ βω′.