Por tanto, el estudio de grupos algebraicos pertenece tanto a la geometría algebraica como a la teoría de grupos.
Son exactamente los subgrupos algebraicos del grupo lineal general y, por lo tanto, también se les llama grupos algebraicos lineales.
[1] Otra clase está formada por las variedades abelianas, que son los grupos algebraicos cuya variedad subyacente es una variedad proyectiva.
(la operación de inversión) que satisfacen los axiomas del grupo.
que definen la estructura del grupo se asignan a
Se dice que un subgrupo algebraico es normal si es estable bajo cada automorfismo interno (que son aplicaciones regulares).
no está algebraicamente cerrado, el morfismo de los grupos
se le asocia un álgebra de Lie sobre
[6] Una definición más sofisticada de un grupo algebraico sobre un cuerpo
Otra definición más del concepto es decir que un grupo algebraico sobre
es un objeto grupo en la categoría de variedades algebraicas sobre
Utilizando la acción de un grupo algebraico afín sobre su anillo coordenado, se puede demostrar que cada grupo algebraico afín es lineal (o grupo matricial), lo que significa que es isomorfo a un subgrupo algebraico del grupo lineal general.
Hay muchos ejemplos de estos grupos además de los mencionados anteriormente: Los grupos algebraicos lineales se pueden clasificar hasta cierto punto.
La descomposición de Levi afirma que cada uno de ellos es (esencialmente) un producto semidirecto de un grupo unipotente (su radical unipotente) con un grupo reductivo; a su vez, los grupos reductivos se descomponen como (nuevamente esencialmente) un producto de su centro (un toro algebraico) con un grupo reductivo.
[8] La clasificación sobre cuerpos arbitrarios es más complicada, pero aún se comprende bien.
[9] Si puede hacerse muy explícito en algunos casos, por ejemplo sobre los cuerpos de los números reales o los números p-ádicos y, por lo tanto, sobre un cuerpo de números algebraicos a través del principio local-global.
Las variedades abelianas son grupos algebraicos proyectivos conectados, por ejemplo, curvas elípticas.
Surgen naturalmente en diversas situaciones en geometría algebraica y teoría de números, por ejemplo como variedad jacobiana de una curva.
Por ejemplo, algunos esquemas de grupos que aparecen naturalmente en la geometría aritmética no lo son.
Más precisamente, si K es un cuerpo perfecto y G es un grupo algebraico conectado sobre K, existe un subgrupo cerrado normal único H en G, tal que H es un grupo algebraico lineal conexo y G/H es una variedad abeliana.
En general, no es un grupo topológicamente, es decir, las operaciones del grupo pueden no ser continuas para esta topología (porque la topología de Zariski en el producto no es el producto de las topologías de Zariski de los factores[11]).
Se dice que un grupo algebraico está conectado si la variedad algebraica subyacente es conexa para la topología de Zariski.
[12] Ejemplos de grupos que no conexos que están dados por el subgrupo algebraico de
(cada punto es un subconjunto cerrado de Zariski, por lo que no es conexo para
Por lo tanto, en particular a efectos de clasificación, es natural restringir los enunciados a grupos algebraicos conexos.
Esta es una topología de grupo y convierte a
No todos los grupos de Lie se pueden obtener mediante este procedimiento, por ejemplo, la cobertura universal de SL2(R) o el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo discreto normal infinito.
[13] Un grupo algebraico sobre los números reales o los complejos puede tener subgrupos cerrados (en la topología analítica) que no tienen el mismo componente conexo de la identidad que cualquier subgrupo algebraico.
y el número de elementos del grupo lineal general sobre un cuerpo finito es (sin contar con factores de escala factor) el q-factorial.
Esto está formalizado por el cuerpo con un elemento, que considera que los grupos de Coxeter son grupos algebraicos simples sobre el cuerpo con un elemento.