Para los casos complejos y p-ádicos, véase el grupo de Lie complejo y el grupo de Lie p-ádico.
En este artículo, se supone que las variedades (en particular, los grupos de Lie) son los segundos numerables; en particular, tienen como máximo varios componentes conectados.
Además, está cerrado bajo el soporte de Lie; es decir,
es invariante de traslación izquierda si X, Y lo son.
es un subálgebra de Lie del álgebra de Lie de todos los campos vectoriales en G y se llama álgebra de Lie de G. Se puede entender esto más concretamente identificando el espacio de los campos vectoriales invariantes izquierdos con el espacio tangente en la identidad, de la siguiente manera: dado un campo vectorial invariante izquierdo, se puede tomar su valor en la identidad y obtener un vector tangente en la identidad, es posible extenderlo a un campo vectorial invariante a la izquierda.
se puede calcular extendiéndolos a campos vectoriales invariantes a la izquierda, tomando el conmutador de los campos vectoriales y luego evaluando la identidad.
Además, si f es inyectiva, entonces f es una inmersión y, por lo tanto, se dice que G es un subgrupo inmerso (Lie) de H. Por ejemplo,
y, dado que G está conectado, esto determina f únicamente.
[7] En general, si U es una vecindad del elemento de identidad en un grupo topológico conectado G, entonces
coincide con G, ya que el primero es un subgrupo abierto (por lo tanto cerrado).
[14] Un método para construir f es usar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
La prueba es la siguiente: según el teorema de Ado, se supone que
ser un recubrimiento simplemente conexo de G; no es difícil demostrar que
Lo anterior se puede resumir en que existe una correspondencia biyectiva canónica entre
[17] Específicamente, dado el homomorfismo del álgebra de Lie
localmente (es decir, en un vecindario de la identidad) por la fórmula dónde
Ahora, afirmando que f es un homomorfismo local.
indicando otros términos expresados como conmutadores repetidos que involucran a X e Y.
Usando la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff nuevamente, esta vez para el grupo H, se ve que esta última expresión se convierte en
y por lo tanto se tiene que Por lo tanto, f tiene la propiedad de homomorfismo, al menos cuando X e Y son suficientemente pequeños.
Es importante enfatizar que este argumento es solo local, ya que la aplicación exponencial solo es invertible en un pequeño vecindario de la identidad en G y dado que la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff solo se cumple si X e Y son pequeños.
La siguiente etapa en el argumento es extender f de un homomorfismo local a uno global.
Considérese, por ejemplo, el grupo de rotación SO(3), que no está simplemente conectado.
[19] Si G está conectado, se ajusta a la secuencia exacta: donde
[22] Su núcleo es un grupo discreto (ya que su dimensión es cero) llamado la red entera de G y se denota por
Sea G un grupo de Lie conectado con un centro finito.
Entonces, las afirmaciones siguientes son equivalentes: Es importante enfatizar que la equivalencia de las condiciones anteriores se cumple solo bajo el supuesto de que G tiene un centro finito.
Así, por ejemplo, si G es compacto con centro finito, el recubrimiento universal
Téngase en cuenta también que las últimas tres condiciones anteriores son puramente de naturaleza algebraica.
[23] Según el teorema de Milnor-Moore, existe el isomorfismo canónico