Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para
en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en
Los primeros términos de esta serie son: donde "
" indica términos que involucran conmutadores superiores de
son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie
Por lo tanto, se puede decir que cerca de la identidad la multiplicación grupal en
, donde los exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias.
[2] La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker, John Edward Campbell y Felix Hausdorff, quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, hasta el infinito, para expresar la solución.
La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin[9] (1947).
La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947),[13][14] donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de
, y se ha utilizado la siguiente notación: Cabe destacar que la serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula establecida es válida) para todos
[16] Una fórmula integral conocida es[17][18] involucrando la función generadora para los números de Bernoulli, utilizada por Poincaré y Hausdorff.
el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I, y el conmutador es simplemente [ X, Y ] = XY - YX ; la aplicación exponencial es la aplicación exponencial estándar de matrices, Cuando se resuelve para Z en usando las expansiones de serie para exp y log, se obtiene una fórmula más simple: Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son: Cabe destacar que las fórmulas para los distintos
en términos de conmutadores (se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que
Por lo tanto, si se quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contiene X e Y (en oposición a una serie de potencias formal), se debe suponer que X e Y son pequeños.
es una norma de matriz submultiplicativa dada, la convergencia está garantizada[14][22] si Si
Este es el caso degenerado utilizado habitualmente en la mecánica cuántica, como se ilustra a continuación.
A continuación se muestra una prueba simple de esta identidad.
: que es evidente por la fórmula integral anterior (los coeficientes de los conmutadores anidados con un solo
, entonces se tiene que Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en
También se obtiene una simple "identidad de trenzado": que puede escribirse como una dilatación adjunta: Si
Una prueba recursiva notablemente directa y concisa de que cada
Para muchas aplicaciones, la mera garantía de la existencia de esta expresión formal es suficiente, y no se necesita una expresión explícita para esta suma infinita.
La existencia se puede ver de la siguiente manera: Considerando el anillo
Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales[16] es: donde los exponentes de orden superior en t también son conmutadores anidados, es decir, polinomios de Lie homogéneos.
Supóngase que adX es el operador lineal en g definido por adX Y = [X,Y] = XY − YX para algunos X ∈ g fijos (el endomorfismo adjunto encontrado anteriormente).
Un lema combinatorio estándar que se utiliza[17] para producir las expansiones explícitas anteriores es dado por[28] entonces, explícitamente Esta fórmula puede probarse mediante la evaluación de la derivada con respecto a s de f (s)Y ≡ esX Y e−sX, solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1, o Para [X,Y] central, es decir, conmutar con X e Y, En consecuencia, para g(s) ≡ esX esY, se deduce que cuya solución es Tomando
Específicamente, los operadores de posición y momento en mecánica cuántica, generalmente denotados
son operadores ilimitados y no matrices), se concluiría que Esta "relación de conmutación exponencial" se mantiene y forma la base del teorema de Stone-von Neumann.
Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semi-trivial: donde v es solo un número complejo.