Derivada de la aplicación exponencial
[2] La fórmula para obtener dexp fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891).
En todo momento, las notaciones exp(X) y eX se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos.
Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones.
Por otro lado, el estilo exp es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.
En particular, dexp0:Tg0 → TGexp(0) = TGe es la identidad porque TgX ≃ g (ya que g es un espacio vectorial) y TGe ≃ g. La prueba dada a continuación asume un grupo de Lie matricial.
Véanse los comentarios sobre el caso general que figuran más adelante.
Lema Sea Ad la representación adjunta del grupo respecto a su álgebra de Lie.
Integrando, se obtiene Usando la serie de potencias formal para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo (2), de lo que se obtiene el resultado.
La fórmula en el caso general viene dada por[9] donde[nb 2] que se reduce formalmente a Aquí la notación exp se usa para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de cálculo en la fracción indica la expansión formal en serie habitual.
Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consúltese la referencia de Sternberg (2004) disponible gratuitamente.
De (3) se deduce que esto sucederá precisamente cuando es invertible.
Si g es una función analítica de una variable compleja expresada mediante una serie de potencias tal que g(U) para una matriz U converge, entonces los valores propios de g(U) serán g(λij) (donde λij son los valores propios de U, el subíndice doble se aclara a continuación).
[nb 3] En el presente caso con g(U) = 1 − exp(−U)/U y U = adX, los valores propios de 1 − exp(−adX)/adX son donde λij son los valores propios de adX.
Poniendo 1 − exp(−λij)/λij = 0 se ve que dexp es invertible precisamente cuando Los valores propios de adX están, a su vez, relacionados con los de X.
Fijada una base ordenada ei del espacio vectorial subyacente V de manera que X sea triangular inferior, entonces con los términos restantes múltiplos de en con n > i.
Esto significa que adX es triangular inferior con sus valores propios λij = λi − λj en la diagonal.
También se desprende del teorema de la función implícita que la propia dexpξ es invertible para ξ suficientemente pequeño.
[12] Si Z(t) se define de modo que una expresión para Z(1) = log( expX expY ), la fórmula BCH, se puede deducir de la fórmula anterior, Es fácil ver que su lado izquierdo es igual a Y.
Así, y por lo tanto, formalmente,[13][14] Sin embargo, utilizando la relación entre Ad y ad dada por (4), es sencillo ver que y por lo tanto Poniendo esto en la forma de una integral en t entre 0 y 1, se obtiene una fórmula integral para Z(1) que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de serie de Dynkin, debido a la simplicidad de la expansión de la serie de ψ. Téngase en cuenta que esta expresión consiste en X+Y y sus conmutadores anidados con X o Y.
(5)y, por lo tanto, integrando, En este punto es evidente que la afirmación cualitativa de la fórmula BCH es válida, a saber, que Z se encuentra en el álgebra de Lie generada por X, Y y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos (A).
Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase Rossmann (2002).
Para obtener detalles completos, haga clic en "Mostrar" a continuación.
Cámbiese el índice de la suma en (5) a k = n − 1 y expándase
Para manejar las expansiones de la serie simplemente, considérese primero Z = log(eXeY).
(99) donde Sk es el conjunto de todas las secuencias s = (i1, j1, …, ik, jk) of length 2k sujetas a las condiciones expresadas en (99).
Ahora, se sustituye (eXeY − 1) por (eadtXeadtY − 1) en lado izquierdo de (98).
La ecuación (99) entonces proporciona o, con un cambio de notación, una Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff explícita, Nótese que el índice del sumatorio para los elementos más a la derecha eadtX en el segundo término en (97) se denotan como ik + 1, pero no son un elemento de una secuencia s ∈ Sk.
(100)usando la simple observación de que [T, T] = 0 para todo T. Esto es, en (100), el primer término se desvanece a menos que jk + 1 sea igual a 0 o 1, correspondiente al primer y segundo términos en la ecuación anterior.
En el caso jk + 1 = 0, ik + 1 debe ser igual a 1, o en caso contrario el término se desvanece por la misma razón (ik + 1 = 0 no está permitido).
(B)Al poner la observación (A) y el teorema (B) juntos, se obtiene una prueba concisa de la fórmula de BCH explícita.
