Teorema de la función implícita
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma
, en vez de estarlo en su forma explícita,
(lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región o un abierto de
Es decir, el teorema establece que existe una función
que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
, entonces la función admite como preimágenes todos los vectores
Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero sí en un entorno de
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:
Puede verse que si para valores de
tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:
El enunciado general es como sigue: Sean
cualquier vector tal que
y defina la matriz jacobiana
Que vista por bloques equivale a tener:
{\displaystyle H'(a,b)={\begin{pmatrix}I_{mxm}&0_{nxn}\\\mathbf {D} _{x}f(a,b)&\mathbf {D} _{y}f(a,b)\\\end{pmatrix}}}
respectivamente, de esta manera;
De topología aceptamos que si
es continuamente diferenciable, por ser composición de funciones continuamente diferenciables, derivando y por regla de la cadena, podemos ver que;
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: Dada una función de manera implícita en la ecuación
como una función en términos de la variable independiente x.
Si derivamos con respecto a x la ecuación
Es decir que la derivada buscada es
Obtener la derivada de: El término
Se puede considerar que son dos funciones,
por lo que se derivara como un producto: El término
se deriva como: El término
se deriva de forma normal como: El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, pues corresponde a un valor constante.
se puede considerar como un producto y se deriva como: Al unir todos los términos se obtiene: Ordenando Factorizando respecto a (
se obtiene la derivada de la función implícita: Para una demostración con detalles véase: Para una colección de ejemplos:
