En matemática, en particular en análisis, el logaritmo de una matriz es otra matriz tal que su matriz exponencial asociada sea igual a la matriz inicial.
Esto corresponde por lo tanto a una generalización de la función escalar del logaritmo y en cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices.
No todas las matrices poseen un logaritmo e incluso pueden llegar a tener más de un logaritmo asociado, de modo que definir la función logaritmo para matrices debe realizarse con cuidado.
El estudio del logaritmo de matrices conlleva a la Teoría de Lie puesto que cuando una matriz posee un logaritmo entonces ésta es un elemento del Grupo de Lie y su logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del Álgebra de Lie.
es un logaritmo[nota 1] de la matriz
,[1] esto es: En el caso de los complejos, la matriz
posee un logaritmo si y solo si es invertible.
[2] Este logaritmo no es único, pero si
no tiene valores propios reales negativos, ella tiene un único logaritmo cuyos valores propios se encuentran todos en la banda del plano complejo definido por
; a este logaritmo le llamamos "logatirmo principal".
[3] Si nos limitamos ahora a las matrices de coeficientes reales, tenemos un criterio más complicado: una matriz real admite un logaritmo real si y solo si ella es invertible y si cada bloque de Jordan corresponde a un valor propio real negativo aparece un número par de veces[4] (En caso contrario, la matriz solamente tendrá logaritmos complejos).
son dos matrices definidas positivas tales que
{\displaystyle AB={\rm {e}}^{\ln(A)+\ln(B)}}
Para toda matriz invertible
y elección de logaritmo
Si D es una matriz matriz diagonal (invertible), su logaritmo se obtiene tomando la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los logaritmos de aquellos de D (si todos los coeficientes de D son reales positivos, existe un único logaritmo (con coeficientes reales)).
es una matriz diagonalizable (invertible), podemos por definición escribir
, verificamos fácilmente (ver «matriz exponencial») que
El resultado expuesto anteriormente no se puede aplicar a matrices no diagonalizables tales como
Poniendo una matriz como ésta bajo la forma normal de Jordan, podemos entonces calcular el logaritmo de los bloques de Jordan.
Recordando que estos bloques tienen la forma:
es una matriz nilpotente (triangular superior y de diagonal nula), el escalar
no nulo si hemos supuesto a la matriz invertible.
, sabemos que en el sentido de las series formales de potencias se tiene que
, y de este modo (dado que las matrices de las potencias conmutan entre ellas) se tiene también que
en caso de que la serie sea convergente para una matriz
Haciendo el cálculo entonces la serie es evidentemente convergente, dado que siendo
nilpotente, ella no tiene que un número finito de términos (existe
(siempre y cuando se asuma invertible para que
De este modo tenemos por ejemplo que: