En matemáticas, la exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas análoga a la función exponencial.
Se usa para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
de igual tamaño que la matriz
La serie anterior es convergente para cualquier matriz cuadrada.
El resultado es generalizable a cualquier norma de matrices, pues todas son equivalentes.
Esto implica que la exponencial de una matriz cuadrada está siempre bien definida.
Denotemos la matriz identidad de tamaño
La matriz exponencial satisface las siguientes propiedades: Basta con observar que
y sustituir en la definición: [2] Aplicando la definición de la exponencial y agrupando los exponentes de cada término tal que el exponente de
conmmutan, se puede aplicar la fórmula del binomio de Newton: Sustituyendo en la fórmula anterior se obtiene Utilizando la definición dada anteriormente de la exponencial de una matriz, se deduce que[3] Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades anteriores: Utilizando estos resultados, puede demostrarse fácilmente que si
Por la fórmula de Liouville, para cualquier matriz compleja que sea cuadrada se tiene: Utilizando esta identidad, puede demostrarse fácilmente que la exponencial de una matriz siempre es una matriz invertible.
Esta misma propiedad es válida para matrices que conmutan, si
son matrices que conmutan, esto es,
Cabe destacar un caso en particular, muy usado en mecánica cuántica, en el que las matrices no conmutan pero sí que lo hacen cada una con su conmutador,
, es decir: Cuando esto es cierto la expresión se transforma en: Incluso si
puede calcularse por la fórmula del producto de Lie Si una matriz
admite forma canónica de Jordan
cuando existe otra matriz no singular tal que: Siendo
una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de
y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1").
En ese caso la exponencial Dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineal con coeficientes constantes de la forma: donde
representa el vector de funciones incógnita.
Esto se sigue la siguiente propiedad:
Por consiguiente, la prueba se reduce a demostrar que este límite existe y que
Utilizando las propiedades de la norma matricial y operando sobre la expresión del límite, se llega a que
Usando la desigualdad triangular y sabiendo que la suma infinita presente en la definición de exponencial es convergente,
En mecánica cuántica puede definirse la exponencia del operador hamiltoniano que es un operador lineal sobre un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita.
La evolución temporal del sistema cuántico cuyo hamitoniano no dependa del tiempo viene dada por: En general el cálculo de la exponencial de un operador puede resultar compleja si no se conocen los autoestados del hamiltoniano, por lo que la solución anterior a veces resulta tan complicada como la resolución de la ecuación de Schrödinger.
Como en general el cálculo directo de la exponencial no es sencillo se usan series perturbativas para calcular la exponencial.
Usualmente estas series tienen el problema adicional de series formales, por lo que su suma directa no proporciona un resultado finito, y por esa razón este precedimiento requiere técnicas adicionales de renormalización.