En matemática, se llama serie formal de potencias (a veces serie de potencias formal) a una expresión matemática que extiende las propiedades de las series de potencias en cuerpos como el de los reales o el de los complejos, permitiendo dar sentido formal a diversas notaciones que técnicamente carecen de rigurosidad.
Las series formales de potencias tienen diversas aplicaciones, pudiéndose mencionar la combinatoria y la teoría de números.
esto es, un polinomio con infinitos términos, en que los ak son elementos de un cuerpo.
, las cuales representaremos de esta forma:
Denotaremos al conjunto de todas estas sucesiones con el símbolo
y su ponderación (multiplicación por escalar) por un elemento del cuerpo
Esto le da al conjunto
Ahora definimos el producto entre dos sucesiones de
Asimismo, si multiplicamos dos polinomios (o dos series absolutamente convergentes) con coeficientes reales o complejos, vemos que los coeficientes del resultado siguen una regla análoga.
Por lo mismo esta definición es coherente desde un punto de vista intuitivo.
Se puede demostrar por la definición que la operación
-álgebra lineal conmutativa con unidad, es decir, una estructura algebraica que es tanto espacio vectorial como anillo conmutativo con unidad, siendo el elemento neutro la sucesión 1 = (1,0,0,...).
Nótese que en el resto de este artículo la letra x denotará a dicha sucesión y no a una variable.
Nótese que el conjunto de las series de potencias para los cuales existe un índice k que satisface que an = 0 para todo n > k es una sub-álgebra lineal de
isomorfa al conjunto de las funciones polinomios en el cuerpo
(a menos que dicho cuerpo sea finito).
En general, denotamos a ambos conjuntos con el símbolo
es solamente una expresión conveniente y no alude en ninguna forma a la convergencia o divergencia de la serie, o a asignarle un valor.
Se reitera que x representa a la sucesión (0,1,0,0...) y no es una variable.
En el caso de una serie finita (polinomio) existe una forma de asignarle directamente un valor, lo que se analizará posteriormente.
[1] A pesar de que el trabajo con una serie de potencias formal no involucra de ninguna forma el asignarle un valor a una serie
, podemos, si es conveniente, asignar en ciertos casos un número a una serie de potencias S, de la siguiente forma: Sea
que le da a
una estructura de anillo con unidad.
, en que 1 es el elemento unidad de
Entonces, dada una serie finita o polinomio formal
Para asignar de una forma análoga un valor a una serie de potencias formal infinita se deben introducir los conceptos de límite y convergencia, para lo cual es necesario definir una topología sobre el conjunto
Sin embargo, por la forma en que se ha construido la topología de
, esto es, por la definición de límite en el cuerpo de los reales, la última igualdad es válida solamente cuando |x| < 1.
Sin embargo, mediante manipulaciones algebraicas o analíticas puede asignársele un valor a otras series a pesar de que no converjan en sentido estricto (véase Serie divergente para más detalles), por ejemplo, dada la misma serie del ejemplo anterior, intentemos asignar mediante métodos del álgebra un valor a S(2): S(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = u 2u = 2·1 + 2·2 + 2·4 + 2·8 + ... = 2 + 4 + 8 + 16 + ... = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) - 1 = u - 1 2u = u - 1 u = -1 Podemos ver que, a pesar de que esto en sentido estricto no es correcto, es un resultado coherente y podemos considerarlo válido en cierto contexto en que se requiera que S(2) tenga un valor.