Serie de potencias
En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.
La notación decimal familiar para los números reales también puede considerarse como un ejemplo de una serie de potencias, con coeficientes enteros, pero con el argumento x fijado en 1/10.
es convergente para algunos valores de la variable x, lo que siempre incluirá x = c (como es habitual,
y la suma de la serie es entonces
La serie puede divergir para otros valores de x si c no es el único punto de convergencia, entonces siempre hay un número r con 0 < r ≤ ∞ tal que la serie converge siempre que |x – c| < r y diverge siempre que |x – c| > r. El número r se llama el radio de convergencia de la serie de potencias; en general, se da como
(esto es el Teorema de Cauchy-Hadamard; ver límite superior y límite inferior para una explicación de la notación).
La serie converge absolutamente dentro de su disco de convergencia y converge uniformemente en todo subconjunto compacto del disco de convergencia.
Para |x – c| = r, no hay una afirmación general sobre la convergencia de la serie.
Sin embargo, el Teorema de Abel establece que si la serie converge para algún valor z tal que |z – c| = r, entonces la suma de la serie para x = z es el límite de la suma de la serie para x = c + t (z – c) donde t es una variable real menor que 1 que tiende a 1.
serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el teorema de Taylor, el cual nos dice que si
es analítica en un disco abierto centrado en
, converge en el disco y es igual a
[1] Si es una serie de potencias, existe un único número
, quizá mayor a infinito
; llamado el radio de convergencia, tal que si
Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en
[1] Sea donde sup es la cota superior más pequeña de ese conjunto de números reales.Suponga que
converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado
Por la definición de R, existe una
converge, gracias al criterio de comparación.
están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en
y viendo que siempre se puede escoger
Por contradicción, supóngase ahora que
están acotados en valor absoluto porque se aproximan al 0.
Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si
Esto significa, por definición de
, llegando a la contradicción, por tanto si
Se ha demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado
estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.
y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial y la fórmula del seno válidas para todos los reales x.
