Transformada Z
En matemáticas y en el procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent.
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto
es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).
es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante
es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC).
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando
La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.
La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.
La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge.
Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando
obtenemos Siendo la suma No hay ningún valor de
obtenemos Siendo la suma La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad solo se conserva si
En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.
Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada
Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5.
En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni
Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal
La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC.
en función de que queramos o no las siguientes propiedades: Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad.
Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito.
Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.
En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.
Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.
la ecuación LCCD puede ser escrita Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual
se define en función de las salidas anteriores
Se calcula haciendo la TZ de la ecuación y dividiendo Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos).
En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.
Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo.
Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.
