Convolución
En matemáticas, y en particular análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la función característica de un intervalo.
El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones.
En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t - η) no implique una violación en el rango.
Cuando se usan estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica.
Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios.
El nombre usado cuando se ponen en juego estos dominios cero-extendidos o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que se presentará abajo.
son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g. Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución.
{\displaystyle f[m]*g[m]=\sum _{n}{f[n]g[m-n]}\,}
Cuando se multiplican dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como se ha mencionado).
Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topológico localmente compacto.
Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función :
(donde n y k son enteros).El área es, por tanto,
{\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }t\cdot x[k]\cdot h[n-k]=t\cdot {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]\right]}}
La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo
, su convolución es también periódica e igual a:
La suma bajo el integrando se denomina extensión periódica de la función
es una extensión periódica de otra función
se denomina convolución circular, cíclica, o periódica de
Las propiedades de la convolución son las siguientes: para todo número complejo
donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia donde
(la matriz de convolución, que es una matriz de Toeplitz) tal que
Esto se hace para poder igualar y así poder hacer la convolución.
Esta técnica es conocida como rellenado con ceros.
Consiste en extender los espacios numéricos añadiendo valores nulos (ceros) en sus extremos antes de realizar una convolución.
En este último caso se aumenta el dominio frecuencial de la magnitud de la señal pero no se mejora la resolución.
Si G es cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo, un grupo topológico localmente compacto Hausdorff con la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo- valuadas y m-integrables de G, entonces se puede definir su convolución como
En este caso también es posible dar, por ejemplo, un teorema de convolución, que sin embargo es mucho más difícil de presentar y que requiere de la teoría de la representación para estos tipos de grupos así como el Teorema de Peter-Weyl del análisis armónico.
Es muy difícil hacer dichos cálculos sin más estructura, y los grupos de Lie son los marcos donde se deben hacer las cosas.
