Los sistemas lineales generalmente exhiben características y propiedades que son mucho más simples que el caso no lineal.
Como abstracción matemática o idealización, los sistemas lineales encuentran aplicaciones importantes en la teoría del control automático, el procesamiento de señales y las telecomunicaciones.
Por ejemplo, el medio de propagación para sistemas de comunicación inalámbrica a menudo puede ser modelado por sistemas lineales.
[1][2][3][4][5] Un sistema determinista general puede ser descrito por un operador,
Los sistemas lineales satisfacen la propiedad de superposición.
Dadas dos entradas válidas así como sus respectivos resultados entonces un sistema lineal debe satisfacer para cualquier valor escalar
Por ejemplo, un oscilador armónico simple obedece a la ecuación diferencial: Si entonces
El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja puede describirse como una suma de respuestas a entradas más simples.
Esta propiedad matemática hace que la solución de ecuaciones de modelado sea más simple que muchos sistemas no lineales.
Para sistemas invariantes en el tiempo, esta es la base de la respuesta al impulso o los métodos de respuesta en frecuencia (consulte la teoría del sistema LTI), que describe una función de entrada general
Las ecuaciones diferenciales típicas de los sistemas lineales invariantes en el tiempo están bien adaptadas al análisis utilizando la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones de computadora).
Otra perspectiva es que las soluciones a los sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en sentido geométrico.
Esto generalmente se hace por conveniencia matemática.
La respuesta de impulso variable en el tiempo h (t2, t1) de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el tiempo t = t2 a un impulso individual aplicado en el tiempo t = t1.
En otras palabras, si la entrada x (t) a un sistema lineal es donde δ (t) representa la función delta de Dirac, y la respuesta correspondiente y (t) del sistema es entonces la función h(t2, t1) es la respuesta de impulso variable del tiempo del sistema.
Como el sistema no puede responder antes de que se aplique la entrada, se debe cumplir la siguiente condición de causalidad: La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada por una integral que puede escribirse en un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad: Si las propiedades del sistema no dependen del tiempo en el que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y h () es una función solo de la diferencia de tiempo τ = tt', que es cero para τ<0 (a saber t Por redefinición de h () es posible escribir la relación entrada-salida de manera equivalente en cualquiera de las formas, Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformación de Laplace de la función de respuesta al impulso llamada función de transferencia que es: En aplicaciones, esta suele ser una función algebraica racional de s. Debido a que h(t) es cero para t negativa, la integral puede escribirse igualmente sobre el rango doblemente infinito y poner s = iω sigue la fórmula para la función de respuesta de frecuencia: La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada por la suma de convolución variable en el tiempo: o equivalente para un sistema invariante en el tiempo al redefinir h (), donde representa el tiempo de retraso entre el estímulo en el tiempo m y la respuesta en el tiempo n.