Sistema de ecuaciones lineales
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.
, es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.
La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas que representan a las ecuaciones.
Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo.
Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema.
Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor].
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones.
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es
c o m p a t i b l e
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.
, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita
A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita
: El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión dos.
Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones lineales: Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como una matriz aumentada.
en la primera y tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por
respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.
Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.
La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de casos específicos, aunque posteriormente se han desarrollado algoritmos alternativos mucho más eficientes.
Algunos de los métodos más usados son: Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones: Los métodos para resolver el sistema (1) sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente.
La existencia de solución del sistema (1) sobre los enteros requiere varias condiciones:
