Factorización de Cholesky

En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior.El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas.Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el nombre de factorización LU.Sin embargo, si A es simétrica y definida positiva, se pueden escoger los factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama la descomposición o factorización de Cholesky.En general, si A es Hermitiana y definida positiva, entonces A puede ser descompuesta como donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales estrictamente positivas y L* representa la conjugada traspuesta de L. Esta es la descomposición de Cholesky.La descomposición de Cholesky es única: dada una matriz Hermitiana positiva definida A, hay una única matriz triangular inferior L con entradas diagonales estrictamente positivas tales que A = LL*.El recíproco se tiene trivialmente: si A se puede escribir como LL* para alguna matriz inversible L, triangular inferior o no, entonces A es Hermitiana y definida positiva.La proposición se lee ahora: una matriz cuadrada A tiene una descomposición de Cholesky si y sólo si A es Hermitiana y semidefinida positiva.Las factorizaciones de Cholesky para matrices semidefinidas positivas no son únicas en general.En el caso especial que A es una matriz simétrica definida positiva con entradas reales, L se puede asumir también con entradas reales.Así: La factorización puede ser calculada directamente a través de las siguientes fórmulas (en este caso realizamos la factorización superiorPodría ocurrir que la matriz A proviene de un funcional de energía el cual debe ser positivo bajo consideraciones físicas; esto ocurre frecuentemente en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.La descomposición de Cholesky se usa comúnmente en el método de Montecarlo para simular sistemas con variables múltiples correlacionadas: la matriz de correlación entre variables es descompuesta, para obtener la triangular inferior L. Aplicando ésta a un vector de ruidos simulados incorrelacionados u, produce un vector Lu con las propiedades de covarianza del sistema a ser modelado.La matriz P es siempre semidefinida positiva y puede descomponerse como LLT.