Matriz transpuesta

filas y

La matriz traspuesta, denotada con

[1]​[2]​ Está dada por: En donde el elemento

j i

de la matriz original

se convertirá en el elemento

de la matriz traspuesta

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

{\displaystyle (A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A}

i j

{\displaystyle (A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}}

sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda

{\displaystyle (cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}}

i k

k j

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}}

j k

k i

k i

j k

{\displaystyle c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}}

que coincide con la definición de producto para Bt At∎ es semidefinida positiva.

de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva.

∎ Una matriz cuadrada

es simétrica si coincide con su traspuesta: Una matriz cuadrada

es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

Si los elementos de la matriz

son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales.

(El recíproco es falso).