En álgebra lineal, la trasposición de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, definida sobre el mismo cuerpo, es otra aplicación inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales.
La trasposición o adjunto algebraico de una aplicación lineal se utiliza a menudo para estudiar la aplicación lineal original.
Este concepto está generalizado por los funtores adjuntos.
se llama trasposición[2] o adjunto algebraico de
, entonces el espacio de aplicaciones lineales es un álgebra bajo una función compuesta, y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que
usando la inyección natural en el doble dual.
es un operador lineal débilmente continuo entre espacios vectoriales topológicos
, sea que denota el polar (absoluto) de
es un operador lineal débilmente continuo (por lo tanto,
definen sus aniquiladores (con respecto al sistema dual canónico) mediante[6] y Sea
y denótese la aplicación del cociente canónico por Supóngase que
Entonces, la traspuesta de la aplicación cociente se valora en
[6] Usando esta traspuesta, cada funcional lineal continuo en el espacio cociente
se identifica canónicamente con un funcional lineal continuo en el aniquilador
induce un isomorfismo en el espacio vectorial que es una isometría si
con respecto a las bases duales de
que actúa hacia la derecha en los vectores columna,
está representado por la misma matriz que actúa hacia la izquierda en los vectores fila.
Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en
La identidad que caracteriza a la traspuesta, es decir,
es formalmente similar a la definición del adjunto hermítico, sin embargo, la traspuesta y el adjunto hermítico no son la misma aplicación.
y está definida para aplicaciones lineales entre cualquier espacio vectorial
y solo se define para aplicaciones lineales entre espacios de Hilbert, tal como se define en términos del producto interno en un espacio de Hilbert.
Por lo tanto, el adjunto hermítico requiere más estructura matemática que la traspuesta.
Sin embargo, la traspuesta se usa a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con una forma bilineal no degenerada como el producto escalar euclídeo u otro producto interior real.
En este caso, la forma bilineal no degenerada es a menudo usada implícitamente para realizar aplicaciones entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar la aplicación traspuesto como un aplicación
Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian la traspuesta en la aplicación adjunta.
son espacios de Hilbert y
es la composición de aplicaciones siguiente:[10] Supóngase que
son espacios vectoriales topológicos y que