En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, los espacios Fréchet, que llevan el nombre de Maurice Fréchet, son espacios vectoriales topológicos especiales.
Son generalizaciones de espacios de Banach (espacio vectorial normado que es completo con respecto a la métrica inducida por la norma).
(consúltese la nota al pie para obtener más detalles).
Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo
[1] La condición de localmente convexo fue añadida posteriormente por Nicolas Bourbaki.
[1] Es importante tener en cuenta que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) usan el término F-espacio para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo.
Además, algunos autores incluso usan "F-espacio" y "espacio de Fréchet" indistintamente.
Al consultar literatura matemática, se recomienda que el lector verifique siempre si la definición del libro o artículo de "F-espacio" y de "espacio de Fréchet" requiere o no convexidad local.
La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico
a los números reales que satisfacen tres propiedades.
y se define una familia contable de seminormas
con las siguientes dos propiedades: Luego, la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) convierte a
Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología en
Precisamente, el teorema de la función abierta implica que si
en espacios vectoriales topológicos completos metrizables (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si
Todos los espacios de Montel metrizables son separables.
[6] Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia convergente débil-* en su dual continuo es fuertemente convergente.
No existe ninguna topología de Hausdorff localmente convexa en
De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que
es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces
contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico.
(como un espacio de Fréchet) es no normable (lo que solo puede suceder si
[14] En consecuencia, si un espacio de Fréchet es no normal (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte.
Debe tenerse en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec es no necesariamente lineal.
que consta de todas las aplicaciones lineales continuas desde
si existe el límite Se dice que la aplicación
Esta es una gran ventaja del espacio de Fréchet
es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial no necesita tener ninguna solución, e incluso si la tiene, las soluciones no necesitan ser únicas.
Este hecho está en marcado contraste con la situación en los espacios de Banach.
[15][16] Si se elimina el requisito de que el espacio sea localmente convexo, se obtiene los F-espacios: espacios vectoriales con métricas completas invariantes respecto a la traslación.