En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (EVT) con la propiedad de que cada vez que los puntos se acercan progresivamente entre sí, existe algún punto
hacia el cual se acercan todos" significa que esta red de Cauchy o filtro converge a
La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico.
Explícitamente, un espacio vectorial topológico (EVT) es completo si cada red, o equivalentemente, cada filtro de Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio necesariamente converge en algún punto.
Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los EVT tienen infinitas completaciones que no son de Hausdorff y que no son EVT-isomorfas entre sí.
y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es: Si
se llama red de Cauchy[4] si: Explícitamente, esto significa que para cada entorno
se denomina subconjunto secuencialmente completo si cada sucesión de Cauchy en
El siguiente teorema establece que la uniformidad canónica de cualquier EVT
se llama espacio uniforme completo (respectivamente, espacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) en
En este apartado se revisan las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos.
Sin embargo, todos los EVTs, incluso aquellos que son de Hausdorff, (ya) completos y/o metrizables, tienen infinitas completaciones no de Hausdorff que no son EVT-isomorfas entre sí.
Por ejemplo, el espacio vectorial que consta de funciones simples con valores escalares
(donde este EVT "generalizado" se define de manera análoga al espacio original
Como muestra el siguiente ejemplo, independientemente de si un espacio es de Hausdorff o ya está completo, cada espacio vectorial topológico (EVT) tiene infinitas completaciones no isomorfas.
de Hausdorff completo que tiene la propiedad universal anterior, entonces existe un isomorfismo EVT único (biyectivo)
tiene una topología trivial, se demuestra fácilmente que cada subespacio vectorial de
el inverso de esta aplicación canónica (como nota al margen, se deduce que cada subconjunto abierto y cerrado
[32] La completación del producto tensorial proyectivo de dos espacios nucleares es nuclear.
el espacio vectorial de operadores lineales continuos y sea
una métrica cualquiera (no se supone que sea invariante a la traslación) en un espacio vectorial
[40] La dimensión de un EVT metrizable completo es finita o no numerable.
cuando se considera como un conjunto, no es necesariamente relativamente compacto (es decir, su cierre en
no es necesariamente compacto[nota 9]) aunque sí es precompacto (es decir, su cierre en
[3] Esto sigue siendo cierto si "EVT" se reemplaza por "grupo topológico conmutativo".
es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces
un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y sea
[30] Relación con subconjuntos compactos Un subconjunto de un EVT que (no se supone que es de Hausdorff o completo) es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado.
[44][demo 2] En consecuencia, un subconjunto cerrado y totalmente acotado de un EVT completo es compacto.
Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no está completo, la envolvente convexa cerrada del subconjunto compacto podría no ser compacta (aunque será precompacta/totalmente acotada).