Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y abarcan las topologías de los grupos topológicos y por lo tanto son la base de la mayor parte del análisis.
Existen tres definiciones equivalentes de espacio uniforme.
no vacía de subconjuntos del producto cartesiano
La condición 5 se puede formalizar con la noción de encadenamiento o composición.
Dados dos conjuntos V y U podemos componerlos en la forma
En un gráfico esquemático, puede representarse un entourage como un área que abarque la diagonal "
Un solo entourage captura un grado particular de "proximidad".
Interpretados así, los axiomas significan lo siguiente: Diremos que un entourage
contiene un conjunto perteneciente a B. Aplicando la condición 3 se concluye que un sistema fundamental de entourages B es suficiente para especificar sin ambigüedad la estructura uniforme:
Alternativamente, los espacios uniformes pueden definirse de forma equivalente utilizando familias de pseudométricas, un enfoque que es a menudo útil en el análisis funcional, donde las pseudodistancias o pseudométricas pueden construirse a partir de seminormas.
En este caso, la idea de "proximidad" está cuantificada por las pseudodistancias.
Diremos que la estructura uniforme generada por dicho sistema está definida o determinada por
Si la familia es finita, puede obtenerse la misma estructura uniforme a partir de una única pseudodistancia: la envolvente superior
También puede demostrarse que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental de entourages numerable (y, en particular, una estructura definida por una familia numerable de pseudométricas) puede definirse por una única pseudométrica.
Los espacios topológicos que se definen a partir de pseudométricas son denominados por algunos autores como espacios de calibración o gauge.
A partir de ahí, puede definirse un espacio uniforme como un conjunto
, y esta medida intuitiva se aplica uniformemente en todo el espacio.
Dada una colección de entourages, podemos decir que un recubrimiento
Reciprocamente, dada una colección de recubrimientos uniformes, los conjuntos
En general, es posible que dos estructuras uniformes diferentes generen la misma topología en
Todo espacio uniformizable es completamente regular y, reciprocamente, todo espacio completamente regular se puede convertir en un espacio uniforme (a menudo de muchas maneras) de modo que la topología inducida coincida con la dada.
Una función o aplicación uniformemente continua entre dos espacios uniformes es aquella en la que las imágenes inversas de los entourages son entourage en el espacio origen.
En otras palabras, un filtro es de Cauchy si contiene conjuntos "arbitrariamente pequeños".
Se deduce de las definiciones que todo filtro convergente (respecto a la topología determinada por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy.
Se dice que un espacio uniforme es completo si todo filtro de Cauchy es convergente.
puede extenderse de forma única a una aplicación uniformemente continua
Es decir, existe un espacio uniforme completo de Hausdorff
constituyen un sistema fundamental de entourages para la estructura uniforme requerida en
Antes de que André Weil diese la primera definición explícita de una estructura uniforme en 1937, conceptos asociados a la uniformidad, como la completitud, se trataban utilizando espacios métricos.
Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de entourages en el libro Topologie Générale y John Tukey presentó la definición por recubrimientos uniformes.