La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.
[1] Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.
Sea
{\displaystyle \textstyle f:{\mbox{A}}\longrightarrow {\mbox{B}}}
una aplicación e
{\displaystyle \textstyle {\mbox{Y}}\subset {\mbox{B}}}
La imagen inversa de
{\displaystyle \textstyle Y}
se define como sigue:
∃ y ∈
f ( x ) = y
{\displaystyle f^{-1}(Y)\quad =\quad \lbrace \quad x\in A\quad |\quad \exists y\in Y\quad ,\quad f(x)=y\quad \rbrace }
La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:
{\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cup {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cup f^{-1}({\mbox{Z}})}
{\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cap {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cap f^{-1}({\mbox{Z}})}
{\displaystyle \forall Y\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{B}}-{\mbox{Y}})={\mbox{A}}-f^{-1}({\mbox{Y}})}
{\displaystyle \forall {\mbox{Y}},{\mbox{Z}}\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}-{\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})-f^{-1}({\mbox{Z}})}
La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.