El grupo cíclico aditivo Z4 = {0, 1, 2, 3} = G tiene un subgrupo H = {0, 2} (isomórfico de Z2).
Para un espacio vectorial V, un subespacio W y un vector fijo a perteneciente a V, los conjuntos se denominan subespacios afines y son clases laterales (tanto izquierdas como derechas, dado que el grupo es abeliano).
En términos de vectores geométricos, estos subespacios afines son todas las "líneas" o "planos" paralelos al subespacio, que es una línea o plano que pasa a través del origen.
El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso de que G y H sean finitos, aplicando la fórmula: Esta ecuación se cumple también en el caso de que los grupos sean infinitos, aunque el significado pueda ser menos claro.
Por ejemplo, si a pertenece al centro de G, entonces aH = Ha.)
Por otro lado, el subgrupo N es normal si y sólo si gN = Ng para todo elemento g de G. En este caso, el conjunto de todas las clases laterales forma un grupo denominado grupo cociente G /N, estando la operación ∗ definida por (aN )∗(bN ) = abN.