Diferenciación en espacios de Fréchet

En matemáticas, en particular en el análisis funcional y en el análisis no lineal, es posible definir la derivada de una función entre dos espacios de Fréchet.[1]​ Esta noción de diferenciación, como es la derivada de Gateaux entre espacios de Fréchet, es significativamente más débil que la derivada en un espacio de Banach, incluso entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) generales.Sin embargo, es la noción más débil de diferenciación para la que se aplican muchos de los teoremas familiares del cálculo infinitesimal.En particular, la regla de la cadena es cierta.Con algunas restricciones adicionales sobre los espacios de Fréchet y las funciones involucradas, existe un análogo del teorema de la función inversa llamado teorema de la función inversa de Nash-Moser, que tiene amplias aplicaciones en análisis no lineal y en geometría diferencial.sea un conjunto abierto yestá definida por si el límite existe.si existe el límite para todos losLas derivadas de orden superior se definen inductivamente mediante Se dice que una función estres espacios de Fréchet.son un par de funcionesSorprendentemente, una aplicación entre un subconjunto abierto de espacios de Fréchet es suave (infinitamente diferenciable) si hace corresponder curvas suaves a curvas suaves (véase análisis conveniente).Con frecuencia los espacios de Fréchet que surgen en aplicaciones prácticas de la derivada disfrutan de una propiedad adicional: están domados ("tame" en inglés).En términos generales, un espacio de Fréchet domado es aquel que es casi un espacio de Banach.En espacios domados, es posible definir una clase preferida de asignaciones, conocidas como aplicaciones domadas.En la categoría de espacios domados bajo aplicaciones domadas, la topología subyacente es lo suficientemente fuerte como para respaldar una teoría completa de topología diferencial.En este contexto, se mantienen muchas más técnicas del cálculo.En particular, existen versiones de los teoremas de la función inversa e implícita.