Espacio dual
La construcción puede darse también para los espacios infinito-dimensionales y da lugar a modos importantes de ver las medidas, las distribuciones y el espacio de Hilbert.
Es también inherente a la transformación de Fourier.
a valores escalares (en este contexto, un escalar es un miembro del cuerpo-base
se les llama usualmente formas lineales o uno-formas.
En lenguaje del cálculo tensorial, a los elementos de
, llamada base dual asociada, que verifica: Si
es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha no produce una base de
Un importante resultado del espacio bidual es el siguiente: Teorema de reflexividadSea
un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo
es de dimensión finita, se verifica que
Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo: LemaDados dos vectores
Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos
que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación:
Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que
y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir:
también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de
y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.
Sin embargo, con espacios vectoriales de dimensión infinita el dual topológico generalmente es estrictamente más pequeño que el dual algebraico: Al tratar con un espacio vectorial normado V (e.g., un espacio de Banach o un espacio de Hilbert), típicamente se está interesado solamente en los funcionales lineales continuos del espacio en el cuerpo.
Estos forman un espacio vectorial normado, llamado el dual continuo o dual topológico de V, a veces llamado solamente el dual de V.
de una funcional lineal continua en V es definida por:
La definición anterior convierte al dual continuo o topológico en un espacio vectorial normado, de hecho en un espacio de Banach.
Uno puede también hablar del continuo de un espacio vectorial topológico arbitrario.
Esto es sin embargo mucho más duro de tratar, ya que en general no será un espacio vectorial normado de ninguna manera natural.
La definición anterior puede generalizarse un poco, dado un espacio vectorial topológico V se define el espacio dual topológico como el subespacio del dual algebraico formado por funciones continuas respecto a la topología de V.
Entonces el dual continuo lp se identifica naturalmente con lq: dado un elemento φ de (lp)', el elemento correspondiente de lq es la secuencia (φ(en)) donde en denota la secuencia cuyo término n-ésimo es 1 y todos los demás son cero.
Inversamente, dado un elemento a = (an ) ∈ lq, el funcional lineal continuo correspondiente φ en lp es definido por φ(b) = Σn an bn para toda b = (bn) ∈ lp (véase la desigualdad de Hölder).
Si V es un espacio de Hilbert, entonces su dual continuo es un espacio de Hilbert que es contra-isomorfo a V.
Éste es el contenido del teorema de representación de Riesz, y da lugar a la notación bra-ket usada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
En analogía con el caso del doble dual algebraico, hay siempre un operador lineal continuo inyectivo naturalmente definido Ψ: V → V'' en su doble dual continuo V''.
Espacios para los cuales la función Ψ es una biyección se llaman reflexivos.
