El teorema es la justificación para la notación bra-ket popular en el tratamiento matemático de la mecánica cuántica.
puede ser escrito unívocamente de esta forma: Teorema.
La función es un (anti) isomorfismo isométrico, significando que: Dado un elemento
Tómese un elemento diferente de cero z en el subespacio, y el conjunto x =z/||z||.
El teorema fue probado simultáneamente por Riesz y Fréchet en 1907.
El teorema siguiente, representa funcionales lineales positivos en Cc(X) el espacio de funciones a valores complejos continuas de soporte compacto.
Una medida de Borel contable aditiva no negativa
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto.
Para cualquier funcional lineal positivo ψ en Cc(X), hay (G1) un
Ésta es la manera adoptada por Bourbaki; por supuesto asume que X comienza como espacio topológico, más bien que simplemente como conjunto.
Para los espacios localmente compactos la teoría de la integración entonces se recupera.
Si µ es una medida contable aditiva complejo-valorada de Borel, µ es regular ssi la medida contable aditiva no negativa |µ| es regular según lo definido arriba.
sea un espacio de Hausdorff localmente compacto X.
La norma de ψ como funcional lineal es la variación total de µ, esto es finalmente, ψ es positivo ssi la medida μ es no negativa.
Por esta razón los resultados anteriores se aplican a situaciones sutilmente modificadas.