En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional.
Permite extender cualquier funcional lineal acotada definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene.
Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.
El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.
Un funcional sublineal en un espacio vectorial
que verifica: Ejemplos de funcionales sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.
Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si
es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial
no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar
El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":