A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener un valor con signo, y tampoco tiene por qué ser homogénea.
En análisis funcional a veces se utiliza el nombre de funcional de Banach, lo que refleja que se utiliza con mayor frecuencia cuando se aplica la formulación general del teorema de Hahn–Banach.
se llama función sublineal (o funcional si es
), y a veces también se llama casi seminorma o funcional de Banach, si tiene estas dos propiedades:[1] Una función
se llama positiva[3] o no negativa si
, aunque algunos autores[4] definen positivo en el sentido de que
Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa.
[1] Cada norma, seminorma y funcional lineal real es una función sublineal.
son funciones sublineales en un espacio vectorial real
es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real
, dos propiedades cualesquiera entre subaditividad, convexidad y homogeneidad positiva implican la tercera.
es una función sublineal en un espacio vectorial real, entonces la aplicación
también es simétrica, entonces la desigualdad triangular se mantendrá para todos los vectores
y luego la subaditividad también garantiza que para todos los
, es una función sublineal de valor real bien definida en el espacio cociente
son números reales positivos tales que entonces para cada
) y combinarlo con la conclusión genera el resultado siguiente: lo que produce muchas más desigualdades, incluyendo, por ejemplo, en el que una expresión de un lado de una desigualdad estricta
(o viceversa) y moviendo el paréntesis de cierre a la derecha (o izquierda) de un sumando adyacente (todos los demás símbolos permanecen fijos y sin cambios).
si este supremo es siempre un número real (es decir, nunca igual a
definida en un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo
se dice que es dominada por una función sublineal
Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:[7] y si
es positiva, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Si
es una vecindad abierta convexa del origen en un espacio vectorial topológico
es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff) sobre los números reales o complejos.
El concepto puede extenderse a operadores homogéneos y subaditivos.
Esto requiere solo que el codominio sea, póngase por caso, un espacio vectorial ordenado para que las condiciones tengan sentido.
crece más lentamente que cualquier función lineal.
Los dos significados no deben confundirse: mientras que un funcional de Banach es convexo, ocurre casi lo contrario con las funciones de crecimiento sublineal: cada función
puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal.