Funcional de Minkowski
Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de forma no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma).
La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir,
Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como la función sublineal y el funcional lineal real, que sí permiten valores negativos.
no tenga un valor real, ya que para cualquier
un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo
, valorada en los números reales extendidos, definida por donde se debe recordar que el ínfimo del conjunto vacío es
pertenezca al interior algebraico o núcleo de
Existe una correspondencia uno a uno entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos.
Obsérvese que, a diferencia de un requisito más estricto para una norma,
En consecuencia, la topología resultante no tiene por qué ser de Hausdorff.
es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de
[3] Podría decirse que los requisitos más comunes impuestos a un conjunto
un espacio vectorial real o complejo y sea
es un espacio vectorial topológico (EVT) (real o complejo) (no necesariamente de Hausdorff o un espacio localmente convexo) y sea
es continuo, entonces[6] En esta sección se investiga el caso más general del calibre de cualquier subconjunto
Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en el que
es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo
El siguiente ejemplo muestra que la inclusión puede ser propia cuando
El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones
siempre está bien definido), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Sólo (1) implica que (3) será demostrado porque después, el resto del teorema se sigue inmediatamente de las propiedades básicas de los funcionales de Minkowski descritas anteriormente, propiedades que en adelante se utilizarán sin comentarios.
Este teorema se puede ampliar para caracterizar ciertas clases de aplicaciones con valores
Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real
En su lugar, está la condición más débil de que
sea convexo también se reduce a exigir únicamente que
un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo
serán subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de
es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente de un espacio vectorial real o complejo
De los resultados siguientes se deduce inmediatamente que para dicha función
Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas Teorema[11]Supóngase que
, donde este entorno abierto convexo del origen satisface que
