En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (o DVS) de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas.
, los valores propios de la matriz cuadrada, simétrica y semidefinida positiva
son siempre reales y mayores o iguales a cero.
Teniendo en cuenta el producto escalar estándar vemos que:
una matriz real simétrica, todos sus valores propios son reales —en particular, como es semidefinida positiva, son todos mayores o iguales a cero—.
valores propios no nulos, ordenados de manera decreciente, y los
Viendo esta descomposición, es claro que la matriz
vectores propios unitarios asociados a los
Las matrices a continuación denotadas con la letra
son las identidades del orden denotado.
Este resultado es útil para facilitar el cálculo de valores singulares.
tiene un polinomio característico de grado 8 y
, que siendo una matriz diagonal se computa reemplazando todos los valores no nulos de la diagonal por sus recíprocos, y luego trasponiendo.
La pseudoinversa es un camino para resolver cuadrados mínimos lineales.
La pseudoinversa obtenida mediante la DVS permite hallar
Se aplica para aproximar la solución del sistema de ecuaciones indeterminado
Un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas se puede escribir en la forma
Las soluciones son todos los vectores singulares cuyo valor singular es cero, y toda combinación lineal entre ellos.
El problema de minimización por cuadrados mínimos totales consiste en hallar
Ya que la matriz es simétrica, estos vectores son ortogonales (ver diagonalización de matrices Hermíticas).
Observamos que, efectivamente, la cantidad de valores singulares no nulos coincide con el rango de la matriz.
Entonces completamos a una base ortonormal de
Y la matriz compuesta por los valores singulares ordenados:
que tiene un polinomio característico de grado 2.
asociados a los autovectores de norma unitaria
Nuestro único valor singular no nulo es
Entonces, resulta del único valor singular no nulo:
Ahora, completamos a una base ortonormal de
En este ejemplo, nuestras matrices ortogonales son:
Nota: la DVS reducida se muestra en la segunda igualdad de la ecuación anterior.