Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano) Esta matriz de orden 2 es normal.
debido a que .. Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
Sea A matriz compleja cuadrada normal.
Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:
Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior.
Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
Usando el hecho que A es normal: Idénticamente.
y luego premultiplicando por
Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:
a
a
a
a
a
a
a
a
{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}
{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}
Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.
i j
j i
i j
{\displaystyle (U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot {\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ij}\|^{2}}}
i j
j i
j i
{\displaystyle (UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}\cdot a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ji}\|^{2}}}
Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.