Geometría algebraica
Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno.
Se puede decir que la materia en cuestión comienza cuando se abandona la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar alguna solución, lo que lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la matemática, tanto conceptual como técnicamente.
La geometría algebraica ocupa un lugar central en las matemáticas modernas y tiene múltiples conexiones conceptuales con campos tan diversos como el análisis complejo, la topología y la teoría de números.
Anteriormente, se suponía que las coordenadas eran tuplas de números reales, pero la situación cambió cuando primero se aceptaron los números complejos, y después los elementos de un campo arbitrario.
En la geometría algebraica clásica, el principal objeto de interés son los conjuntos donde se anula cierta colección de polinomios, lo que quiere decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinómicas.
Por ejemplo, una esfera de radio r de dos dimensiones en el espacio euclídeo de tres dimensiones R³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que Un círculo "inclinado" en R³ puede definirse como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las dos ecuaciones polinómicas siguientes: Comenzamos en primer lugar con un cuerpo k. En geometría algebraica clásica, este cuerpo fue siempre C, los números complejos, pero muchos de los resultados son también ciertos si solo asumimos que k es algebraicamente cerrado.
Usaremos esta notación pues no siempre se trabajará con un cuerpo k. Abstractamente hablando,
Las funciones regulares sobre el n-espacio afín son de esta manera lo mismo que los polinomios sobre k en n variables.
En cualquier caso, esta última definición coincide con la de conjunto algebraico afín irreducible.
Dos cuestiones que se plantean ahora son: si tenemos un subconjunto V de
La respuesta a la segunda cuestión viene dada por la Hilbert Nullstellensatz.
Entonces se tiene que un conjunto algebraico es una irreducible (o en algunos casos simplemente variedad) si y solo si los polinomios que lo definen generan un ideal primo del anillo de polinomios.
Puede parecer antinaturalmente restrictivo el requerir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiente, pero esta situación es muy similar a la que se da en un espacio topológico normal, donde el teorema de extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre puede extenderse al espacio topológico ambiente.
De esto podemos ver que k[V] es el cociente
, podemos definir las funciones regulares de una variedad afín a otra.
Elige m funciones regulares en V, y llámalas f1,...,fm.
En otras palabras, cada fi determina una coordenada del rango de f. Si V es una variedad contenida en
Esto convierte a la colección de todas las variedades afines en una categoría, cuyos objetos son variedades afines y cuyos morfismos son las aplicaciones regulares.
El teorema siguiente caracteriza esta categoría: Considérese la variedad V(y=x²).
Según x crece, vemos que la pendiente de la línea que va desde el origen hasta el punto (x, x²) se hace más y más grande.
Pero, al contrario que en la anterior, según x decrece, la pendiente de la misma línea se hace mayor.
El remedio a esto es trabajar en el espacio proyectivo, que tiene propiedades análogas a las de un espacio de Hausdorff compacto.
El comportamiento de una variedad en aquellos puntos extra nos da más información sobre ella.
Los primeros geómetras algebraicos se dieron cuenta rápidamente de que el espacio proyectivo tiene propiedades mucho mejores que el afín ordinario.
Por esta razón, este espacio tiene un papel fundamental en la geometría algebraica.
Este viene de la observación de que si las k-álgebras reducidas finitamente generadas son objetos geométricos, entonces quizás cualquier anillo conmutativo podría serlo.
Como se comprueba así, este es un nuevo punto de vista muy fructífero, y es la base para toda la investigación moderna en geometría algebraica.
Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas, que fueron un instrumento fundamental para la prueba del último teorema de Fermat y se usan también en criptografía de curvas elípticas.
Mientras que mucha de la geometría algebraica trata de proposiciones abstractas y generales sobre variedades, también se han desarrollado los métodos para la computación efectiva con polinomios concretos dados.
Sobre los años 1930 y 1940, Oscar Zariski, André Weil y otros se dieron cuenta de que esta disciplina necesitaba refundarse mediante el álgebra conmutativa.
