Ecuación de tercer grado
[4][5][6] Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el imperio babilónico (siglos XX a XVI a. C.).
[7][8] Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente.
[10] En el siglo V a. C., Hipócrates redujo este problema al encontrar dos medias proporcionales entre un segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con regla y compás,[11] una tarea que, ahora se sabe, es imposible.
[22] A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma x3 + mx = n. De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que m y n sean negativas, pero por entonces se desconocían los números negativos.
En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos.
Tartaglia recibió preguntas en la forma x3 + mx = n, ecuaciones para las que había elaborado un método general.
Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por Gerolamo Cardano (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas.
Rafael Bombelli estudió este tema en detalle[24] y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.
Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante, Los siguientes casos necesitan ser considerados:[28] Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros).
Por el lema de Gauss, si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.
Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general.
Tales raíces se calculan en función de radianes utilizando la siguiente fórmula: Mientras que el argumento
En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces.
Se le acredita a Gerolamo Cardano por el primer método para resolver ecuaciones cúbicas.
, luego sumando ambos productos, mientras que obtenemos la otra multiplicando cada raíz cúbica por los conjugados de dichas raíces primitivas respectivamente.
Con este convenio, el método de Cardano para las tres raíces reales permanece válido, pero no es puramente algebraico, dado que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, desde que involucra desigualdades para comparar partes reales.
También, el uso de la raíz cúbica principal puede dar un resultado erróneo si los coeficientes son números complejos.
Además, si los coeficientes pertenecen a otro campo, la raíz cúbica principal no está definida en general.
De forma similar, la fórmula tampoco funciona en los otros casos donde ninguna raíz cúbica se necesita, cuando
, reemplazamos en (2): Sin embargo, solo hemos hallado una raíz real de la ecuación cúbica reducida, por lo que se agrega
El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar a S1/3(q), cuando p = 3.
Cuando el gráfico de una función cúbica se traza en coordenadas cartesianas, si solo hay una raíz real, entonces coincide con la abscisa (coordenada x) de la intersección del eje horizontal con la curva (punto R en la figura).
Además,[38][39][40] si las raíces conjugadas complejas se escriben como g ± hi, entonces la parte real g del número complejo anterior es la abscisa del punto de tangencia H de la tangente a la cúbica, que pasa a través de la intersección R del eje x con la cúbica (que es la longitud marcada como RM, negativa en la figura).
Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles.
En esta sección se reagrupan varios métodos para deducir la Fórmula de Cardano: Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia, pero lleva el nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).
Al aplicar el cambio a la cúbica reducida, se obtiene En este punto, Cardano impuso la condición de que 3uv + p = 0.
En el caso de una ecuación cúbica, P=s1s2 y S=s13 + s23 son polinomios simétricos (véase más adelante).
Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando de forma forzada por los números complejos.
Esta constatación fue un argumento a favor de los números complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.
Las fórmulas utilizadas en la tabla siguiente proceden del libro de Julio Rey Pastor titulado "Análisis Matemático",[47] en el que se desarrollan las expresiones utilizadas en el código de la tabla con todo detalle: Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.
