Polinomio simétrico elemental

Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de enteros positivos) λ = (λ1, …, λm), se define el polinomio simétrico eλ(X1, …, Xn), también llamado polinomio simétrico elemental, por A veces se usa la notación σk lugar de ek.Este es un anillo polinómico en los n polinomios simétricos elementales ek(X1, …, Xn) para k = 1, …, n (téngase en cuenta que e0 no se encuentra entre estos polinomios; dado que e0 = 1, no puede ser miembro de ningún conjunto de elementos algebraicamente independientes).Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que aplica Yk sobre ek(X1, …, Xn) para k = 1, …, n define un isomorfismo entre A[Y1, …, Yn] y A[X1, …, Xn]Sn.El teorema puede probarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción matemática con respecto al número de variables n, y para n fijo, con respecto al grado del polinomio homogéneo.Supóngase ahora que el teorema ha sido probado para todos los polinomios para m < n variables y todos los polinomios simétricos en n variables con grado < d. Cada polinomio simétrico homogéneo P en A[X1, …, Xn]Sn puede descomponerse como una suma de polinomios simétricos homogéneos Aquí, la "parte lagunar" Plagunar se define como la suma de todos los monomios en P que contienen solo un subconjunto propio de las n variables X1, …, Xn, es decir, donde falta al menos una variable Xj.Más precisamente: si A y B son dos polinomios simétricos homogéneos en X1, …, Xn que tienen el mismo grado, y si el coeficiente de A antes de cada monomio que contiene solo las variables X1, …, Xn − 1 es igual al coeficiente correspondiente de B, entonces A y B tienen partes lagunares iguales.Como P es simétrico, su monomio principal tiene exponentes débilmente decrecientes, por lo que es X λ con λ una partición de d. Sea el coeficiente de este término c. Entonces P − ceλt (X1, …, Xn) es cero o un polinomio simétrico con un monomio principal estrictamente más pequeño.Escribiendo esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, y agregando de nuevo ceλt (X1, …, Xn), se obtiene la expresión polinómica buscada para P. El hecho de que esta expresión es única, o equivalente a que todos los productos (monomios) eλt (X1, …, Xn) de polinomios simétricos elementales son linealmente independientes, también se demuestra fácilmente.El lema muestra que todos estos productos tienen monomios principales diferentes, y esto es suficiente: si una combinación lineal no trivial de eλt (X1, …, Xn) fuera cero, se observa la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables Xi) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que produciría una contradicción.