Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de enteros positivos) λ = (λ1, …, λm), se define el polinomio simétrico eλ(X1, …, Xn), también llamado polinomio simétrico elemental, por A veces se usa la notación σk lugar de ek.
Este es un anillo polinómico en los n polinomios simétricos elementales ek(X1, …, Xn) para k = 1, …, n (téngase en cuenta que e0 no se encuentra entre estos polinomios; dado que e0 = 1, no puede ser miembro de ningún conjunto de elementos algebraicamente independientes).
Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que aplica Yk sobre ek(X1, …, Xn) para k = 1, …, n define un isomorfismo entre A[Y1, …, Yn] y A[X1, …, Xn]Sn.
El teorema puede probarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción matemática con respecto al número de variables n, y para n fijo, con respecto al grado del polinomio homogéneo.
Supóngase ahora que el teorema ha sido probado para todos los polinomios para m < n variables y todos los polinomios simétricos en n variables con grado < d. Cada polinomio simétrico homogéneo P en A[X1, …, Xn]Sn puede descomponerse como una suma de polinomios simétricos homogéneos Aquí, la "parte lagunar" Plagunar se define como la suma de todos los monomios en P que contienen solo un subconjunto propio de las n variables X1, …, Xn, es decir, donde falta al menos una variable Xj.
Más precisamente: si A y B son dos polinomios simétricos homogéneos en X1, …, Xn que tienen el mismo grado, y si el coeficiente de A antes de cada monomio que contiene solo las variables X1, …, Xn − 1 es igual al coeficiente correspondiente de B, entonces A y B tienen partes lagunares iguales.
Como P es simétrico, su monomio principal tiene exponentes débilmente decrecientes, por lo que es X λ con λ una partición de d. Sea el coeficiente de este término c. Entonces P − ceλt (X1, …, Xn) es cero o un polinomio simétrico con un monomio principal estrictamente más pequeño.
Escribiendo esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, y agregando de nuevo ceλt (X1, …, Xn), se obtiene la expresión polinómica buscada para P. El hecho de que esta expresión es única, o equivalente a que todos los productos (monomios) eλt (X1, …, Xn) de polinomios simétricos elementales son linealmente independientes, también se demuestra fácilmente.
El lema muestra que todos estos productos tienen monomios principales diferentes, y esto es suficiente: si una combinación lineal no trivial de eλt (X1, …, Xn) fuera cero, se observa la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables Xi) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que produciría una contradicción.