Concretamente, relacionan las sumas de potencias con los polinomios simétricos elementales.
.., xn) la k-ésima suma de potencias: y para k ≥ 0 denote por ek(x1, ..., xn) el polinomio simétrico elemental (es decir, la suma de todos productos distintos de k variables distintas), por lo que Entonces las identidades de Newton se pueden establecer como expresión válida para todos los n ≥ 1 y n ≥ k ≥ 1.
Estas ecuaciones permiten expresar recursivamente la ei en términos de la pk; para poder hacer lo contrario, se puede reescribirlos como En general, se tiene que enunciado válido para todo n ≥ 1 y n ≥k ≥ 1.
son los valores propios de la matriz, contados con su multiplicidad algebraica.
Por lo tanto, el polinomio característico de una matriz se puede calcular en NC.
Por el teorema de Cayley-Hamilton, toda matriz satisface su polinomio característico, y una transformación simple permite encontrar la matriz de adjuntos en NC.
Una versión rápida del mismo con cálculos en paralelo se debe a L. Csanky (1976).
Para un n dado, los polinomios simétricos elementales ek(x1,...,xn) para k = 1 ,..., n forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos en x1,.... xn: toda expresión polinomial en xi que es invariante bajo todas las permutaciones de esas variables está dada por una expresión polinómica en esos polinomios simétricos elementales, y esta expresión es única hasta la equivalencia de expresiones polinómicas.
con todos los coeficientes ak considerados como parámetros libres, esto significa que toda expresión polinomial simétrica S(x1,...,xn) en sus raíces puede expresarse en cambio como una expresión polinomial P(a1,...,an) en términos de sus coeficientes solamente, en otras palabras, sin requerir conocimiento de las raíces.
Expresados como identidades en un anillo de funciones simétricas, se leen como expresión válida para todos los n ≥ k ≥ 1.
Hacerlo requiere la introducción de denominadores enteros, lo que se puede hacer en el anillo ΛQ de funciones simétricas con coeficientes racionales: etcétera.
Esta expresión también conduce a la siguiente identidad para generar funciones: Aplicadas a un polinomio mónico, estas fórmulas expresan los coeficientes en términos de las sumas de potencias de las raíces: reemplaza cada ei por ai y cada pk por s k. Las relaciones análogas que involucran polinomios simétricos homogéneos completos se pueden desarrollar de manera similar, dando las ecuaciones y así sucesivamente, en las que solo hay signos más.
; esta N es el número de permutaciones que conmutan con cualquier permutación dada π del tipo de ciclo dado.
Las expresiones para las funciones simétricas elementales tienen coeficientes con el mismo valor absoluto, pero un signo igual al signo de π, a saber (−1)m2+m4+.... Se puede probar considerando el siguiente paso inductivo: Por analogía con la derivación de la función generadora del
También se pueden usar las identidades de Newton para expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales, lo que no introduce denominadores: Las primeras cuatro fórmulas fueron obtenidas por Albert Girard en 1629 (por lo tanto, antes que Newton).
En particular, la descripción anterior del valor absoluto de los coeficientes también se aplica aquí.
La fórmula general (para todos los enteros no negativos m) es: Se pueden obtener fórmulas explícitas para las expresiones anteriores en forma de determinantes, considerando la primera n de las identidades de Newton (o sus contrapartes para los polinomios homogéneos completos) como ecuaciones lineales en las que se conocen las funciones simétricas elementales y las sumas de potencias son incógnitas (o viceversa), y aplicando la regla de Cramer para encontrar la solución para la incógnita final.
Por ejemplo, tomando las identidades de Newton en la forma se consideran
como incógnitas, y se resuelve la última, dando Resolver para
es un problema similar, como los cálculos análogos para los polinomios simétricos homogéneos completos.
Aquí hay algunas posibles maneras de demostrar su validez.
Se puede obtener la k-ésima identidad de Newton en k variables por sustitución en como sigue.
Sustituyendo xj por t da Sumando sobre todas las j se obtiene donde los términos para i = 0 quedan eliminados de la suma porque p0 (generalmente) no está definido.
Esta ecuación da inmediatamente la k-ésima identidad de Newton en k variables.
Partiendo de nuevo de la relación básica e invirtiendo los polinomios sustituyendo 1/t por t y luego multiplicando ambos lados por tn para eliminar las potencias negativas de t, se obtiene (el cálculo anterior se debe realizar en el cuerpo de fracciones de R[[t]]; alternativamente, la identidad se puede obtener simplemente evaluando el producto en el lado izquierdo) Ahora, se intercambian los lados de la ecuación y se expresan los ai como los polinomios simétricos elementales que representan, para obtener la identidad Calculando las derivadas formales en ambos lados con respecto a t, y luego (por conveniencia) multiplicando por t, se obtiene donde el polinomio del lado derecho se reescribió primero como función racional para poder factorizar un producto del sumatorio, y luego la fracción en el sumando se desarrolló como una serie en t, usando la fórmula y finalmente se recogió el coeficiente de cada t j, dando una suma de potencias.
La siguiente deducción, presentada esencialmente en (Mead, 1992), está formulada en anillo de funciones simétricas para mayor claridad (todas las identidades son independientes del número de variables).
Fíjense algunos k > 0, y defínase la función simétrica r(i) para 2 ≤ i ≤ k como la suma de todos los monomios distintos de grado k obtenidos al multiplicar una variable elevada a la potencia i por k − i distintas otras variables (esta es la función simétrica monomial mγ donde γ es una forma de gancho (i,1,1,...,1)).
En particular r(k) = pk; para r(1) la descripción equivaldría a la de ek, pero este caso fue excluido ya que aquí los monomios ya no tienen ninguna variable distinguida.
Todos los productos piek−i pueden expresarse en términos de r(j) siendo el primer y último caso algo especial.
Para i = k se multiplica por e0 = 1, dando trivialmente Finalmente el producto p1ek−1 por i = 1 da contribuciones a r(i + 1) = r(2) como para otros valores i < k, pero las contribuciones restantes producen k veces cada monomio de ek, ya que cualquiera de las variables puede provenir del factor p1; de este modo La identidad k-ésima de Newton ahora se obtiene tomando la suma alterna de estas ecuaciones, en las que todos los términos de la forma r(i) se anulan.