Teorema de Cayley-Hamilton
En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.
En términos matriciales, eso significa que: Si A es una matriz cuadrada de orden n y si
es su polinomio característico (polinomio de indeterminada λ), entonces al sustituir formalmente λ por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula: El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.
Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.
Este teorema tiene dos familias de uso: Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.
Efectuamos la demostración sobre la matriz
Definamos la matriz
) = a d j (
Sabemos que Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K. Escribamos
, se obtiene
Véase también Polinomio de endomorfismo para otra demostración.
Consideremos por ejemplo la matriz El polinomio característico se escribe El teorema de Cayley-Hamilton afirma que y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso.
Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo.
Tomemos la relación anterior Así, por ejemplo, para calcular A4, podemos escribir y llegamos Podemos utilizar también la relación polinomial inicial
para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso.
En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y lo que demuestra que A admite como inverso
