En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0.
Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.
En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0.
El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p. En álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo
de dimensión finita sobre un cuerpo
de grado mínimo que anula a
Por extensión, dada una matriz
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
, definimos el polinomio mínimo de
como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz
(en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta).
Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:
al que llamaremos polinomio mínimo de
{\displaystyle {\text{ al que llamaremos polinomio mínimo de }}f.}
{\displaystyle {\text{dim}}({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} ))=n^{2}}
, es necesariamente linealmente dependiente, es decir,
Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo.
Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico.
Este polinomio, al que denotaremos por
, es nuestro candidato a polinomio mínimo.
{\displaystyle c,r\in \mathbb {K} [t],r=0}
es el polinomio anulador de grado mínimo, luego
Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios
mónicos de grado mínimo tales que fueran anuladores de
Por lo anterior, uno tiene que dividir al otro.
Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente
Los siguientes tres enunciados son equivalentes: La multiplicidad de la raíz
es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a
El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico.
El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.