Teoría de cuerpos
Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, sustracción, multiplicación y división están bien definidas.
Esto incluye diferentes ramas del análisis matemático, que se basan en campos con estructura adicional.
fue usado implícitamente por Niels Henrik Abel y Évariste Galois en su trabajo sobre resolución de ecuaciones.
En 1871, Richard Dedekind, al conjunto de los números reales o complejos los cuales son cerrados bajo las cuatro operaciones aritméticas como "cuerpo".
En 1893, Heinrich Martin Weber dio la primera definición clara de cuerpo abstracto.
En 1910 Ernst Steinitz publicó el artículo Algebraische Theorie der Körper (alemán: teoría algebraica de cuerpos), que fue muy influyente.
Galois, que no tenía el término "cuerpo" en mente, ha sido honrado por ser el primer matemático que enlazó la teoría de grupos y la teoría de cuerpos.
Sin embargo, fue Emil Artin el primero que desarrolló la relación entre grupos y cuerpos en gran detalle durante 1928-1942.
En particular, las regla comunes de asociatividad, conmutatividad y distributividad se cumplen.
Esto permite considerar también las llamadas operaciones inversas de la resta, a - b, y división, a / b, definiendo: Formalmente, un campo es un set F junto con dos operación binarias sobre F llamadas suma y multiplicación.
Se requiere que estas operaciones satisfagan las siguientes propiedades, denominadas Axiomas de campo' (en estos axiomas, a, b y c son elementos arbitrarios del campo F): Esto puede resumirse diciendo: un campo tiene dos operaciones conmutativas, llamadas adición y multiplicación; es un grupo bajo adición con 0 como identidad aditiva; los elementos no nulos son un grupo bajo multiplicación con 1 como identidad multiplicativa; y la multiplicación distribuye sobre la adición.
Los números reales R, con las operaciones usuales de suma y multiplicación, también forman un campo.
Los números complejos pueden representarse geométricamente como puntos en el plano, con coordenadas cartesianas dadas por los números reales de su expresión descriptiva, o como las flechas desde el origen a estos puntos, especificadas por su longitud y un ángulo encerrado con alguna dirección distinta.
En la antigüedad, varios problemas geométricos se referían a la (in)viabilidad de construir ciertos números con regla y compás.
Por ejemplo, los griegos desconocían que, en general, es imposible trisecar de este modo un ángulo dado.
Utilizando el etiquetado de la ilustración, construye los segmentos AB, BD, y una semicircunferencia sobre AD (centro en el punto medio C), que interseca a la perpendicular que pasa por B en un punto F, a una distancia de exactamente
no es un número construible, lo que implica que es imposible construir con compás y regla la longitud del lado de un cubo de volumen doble, otro problema planteado por los antiguos griegos.
El siguiente ejemplo es un campo formado por cuatro elementos llamados O, I, A y B.
La notación se elige de tal manera que O desempeña el papel del elemento de identidad aditivo (denotado 0 en los axiomas anteriores), y I es la identidad multiplicativa (denotado 1 en los axiomas anteriores).
