Teorema de la media geométrica
Establece que la media geométrica de los dos segmentos es igual a la altura.
Si h denota la altura de un triángulo rectángulo perpendicular a la hipotenusa, y p y q los segmentos en los que divide a hipotenusa, entonces el teorema puede expresarse como: o en términos de áreas: La última fórmula permite obtener un método para determinar la cuadratura de un rectángulo utilizando regla y compás, es decir, posibilita construir un cuadrado de igual área que un rectángulo dado.
Sea un rectángulo con lados dados p y q, cuyo vértice superior izquierdo se denomina D. A continuación, se extiende el segmento q a su izquierda en una longitud p (usando el arco AE centrado en D) y se dibuja un semicírculo con los puntos finales A y B; y con el nuevo segmento p + q como su diámetro.
Se traza una línea perpendicular al diámetro en D, que interseca el semicírculo en C. Debido al teorema de Thales, C y el diámetro forman un triángulo rectángulo con el segmento de línea DC como su altura, y por lo tanto, DC es el lado de un cuadrado con el área del rectángulo.
El método también permite la construcción de raíces cuadradas (véase número construible), ya que comenzando con un rectángulo que tenga un lado de longitud 1, el cuadrado construido tendrá una longitud lateral que es igual a la raíz cuadrada de la longitud del rectángulo.
La afirmación inversa también es cierta: cualquier triángulo, en el que la altura es igual a la media geométrica de los dos segmentos de línea creados por él, es un triángulo rectángulo.
El teorema de la media geométrica también puede considerarse como un caso especial del teorema de las cuerdas secantes para un círculo, ya que el inverso del teorema de Thales asegura que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el diámetro de su circuncírculo.
Históricamente, el teorema se atribuye a Euclides (ca.
En la proposición 14 del libro II, Euclides da un método para cuadrar un rectángulo, que esencialmente coincide con el método dado aquí.
son semejantes, ya que: Por lo tanto, ambos triángulos
Debido a esta relación de semejanza, se obtiene la siguiente igualdad de razones, cuyo reordenamiento algebraico produce el teorema: Prueba recíproca: Cuando se tiene un triángulo
Esto significa que los triángulos son semejantes, lo que produce: En la configuración del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos
, en el que el teorema de Pitágoras produce: Sumando las dos primeras dos ecuaciones, y luego considerando la tercera, lleva a: Una división por dos finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica.
Diseccionar el triángulo rectángulo a lo largo de su altura h produce dos triángulos semejantes (rojo y amarillo), que se pueden suplementar (cuadrado y rectángulo ambos de color verde) y organizar de dos formas alternativas, componiendo dos triángulos rectángulos de mayor tamaño, con lados perpendiculares de longitudes p+h y q+h en ambos casos.
Como ambas disposiciones producen el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.
