Potencia de un punto

En geometría la expresión potencia de un punto respecto una circunferencia se refiere al valor constante que resulta de multiplicar las longitudes de dos segmentos definidos en una misma recta que pasa por dicho punto y es secante o tangente a dicha circunferencia.De forma más precisa, si P es un punto en el plano y se fija una circunferencia con centro O, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumple que PA·PB es constante, independientemente de la posición de la recta.El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P. El término potencia para referirse a este concepto geométrico fue introducido por Jakob Steiner en su artículo de 1826, titulado Einige geometrische Betrachtungen («Unas cuantas observaciones geométricas»),[1]​ aunque el teorema aludido se encontraba ya en Los Elementos de Euclides.En otras palabras, cualquier otra recta que pase por P y corte a la circunferencia determinará dos segmentos cuyo producto es el mismo valor.Este resultado se encuentra ya en la obra Los Elementos de Euclides:[2]​Debe aclararse que en la concepción matemática griega los números eran representados siempre por cantidades geométricas y por tanto no tenía sentido una multiplicación «numérica» de longitudes de segmentos.En este caso AB y CD son dos secantes que se intersecan en un punto P exterior a la circunferencia.Un caso de especial consideración es el formado por una recta tangente y una secante, como en la figura.es semi-inscrito y mide la mitad del arco BT, al igual que el ángulo inscritoEste caso en realidad puede considerarse como un caso límite del correspondiente a dos secantes, obtenido cuando los puntos C, D se desplazan sobre la circunferencia hasta coincidir.Dicho valor depende únicamente de la posición del punto en relación con la circunferencia., donde d es la distancia del punto P al centro de la circunferencia.Por tanto, el producto para cualquier otra cuerda PC·PD es el mismo valor: r²-d².Considerando la figura formada por una tangente PT y una recta que pasa por el centro O de la circunferencia, se encuentra que el triánguloOtra forma de demostrar la relación es observar que, con la disposición de la figura, cuando AB es un diámetro, la longitud del segmento PA es (d+r) mientras que la del segmento PB es (d-r) y así:segmento PO es igual a d y la del segmento OA es igual a r. Por medio del teorema de Steiner se puede dar una definición alternativa (y equivalente) para la potencia de un punto.Este signo en apariencia extraño refleja que en realidad la potencia de un punto es un producto de segmentos sucesivos y cuando el punto es exterior a la circunferencia los segmentos PA, PB tienen la misma dirección y por tanto el producto es positivo, mientras que si el punto es interior, los segmentos PA y PB tendrán direcciones opuestas, por lo que su producto será negativo.La potencia del punto P=(x,y) respecto a una circunferencia centrada en el origen con radio 1 esmientras que la función potencia relativa a una circunferencia centrada en el origen, con radio arbitrario r esEs posible obtener la gráfica en 3 dimensiones de estas funciones, con el plano xy como dominio y el eje z como codominio, resultando la gráfica un paraboloide.En el caso en que sea una circunferencia esa curva algebraica, la distinción respecto de la potencia del punto acorde a lo previamente definido es que difiere por un factor de d2.dependerá únicamente de la distancia del punto al centro de la circunferencia base: puntos a la misma distancia tendrán exactamente la misma potencia.Otro lugar geométrico que se puede considerar es aquel formado por los puntos cuya potencia respecto a dos circunferencias fijas (no concéntricas) es la misma.son las distancias desde P a los centros de la primera y segunda circunferencia, mientras queEste lugar geométrico es una línea recta, denominada eje radical de las dos circunferencias, perpendicular a la línea que une los centros de ambas.El caso más sencillo, aquí ilustrado, es el que ambas circunferencias se cortan.Denominando por A, B a los puntos de corte, se observa que para cualquier punto de la línea AB se cumple que la potencia respecto a cualquiera de las dos circunferencias es la misma: PA·PB.Esto es porque la potencia del punto P también es igual a PF² y PG², por lo que PF=PG.El punto de igual potencia respecto a tres circunferencias es el Centro Radical.También es el punto desde el que las tangentes trazadas a las tres circunferencias tienen la misma longitud y el centro de la única circunferencia que es, a la vez, ortogonal con las tres dadas.