Semejanza (geometría)

Si dos polígonos son semejantes, entonces los lados correspondientes tienen la misma proporción y los ángulos correspondientes tienen la misma medida, o bien cuando sus ángulos, colocados en el mismo orden, son iguales, y cuyos lados adyacentes a estos ángulos son proporcionales.

Dos figuras geométricas son semejantes, si y solamente si una puede obtenerse a partir de la otra mediante ampliación o reducción ( escalado uniforme ), una traslación, una rotación, una reflexión adicional o mezcla de estas transformaciones.

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

Hipótesis: Tesis: Dando lugar a tres casos: Si

corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos: Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1): Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene: Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos: Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

, y por carácter transitivo: Una semejanza (también llamada transformación de semejanza o similitud) de un espacio euclídeo es una biyección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo.

Como mapa f : ℝn → ℝn, una semejanza de razón r toma la forma Las semejanzas preservan planos, rectas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de recta.

Las transformaciones de semejanza 2D pueden entonces expresarse en términos de aritmética compleja y vienen dadas por f(z) = az + b (similitudes directas) y f(z) = az + b (semejanzas opuestas), donde a y b son números complejos, a ≠ 0.

Las alturas de triángulos semejantes están en la misma proporción que los lados correspondientes.

La relación es válida también para figuras que no son rectificables.

La ley del cubo cuadrado de Galileo se refiere a los sólidos semejantes.

Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái Lobachevski se dieron cuenta de que esto solo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera.

Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al triángulo ABC.

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superficie de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligeramente superior a π radianes (180°), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.

Dados dos polígonos semejantes cualesquiera, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (aunque sea en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia son iguales en medida.

Una condición suficiente para la semejanza de polígonos es que los lados y diagonales correspondientes sean proporcionales.