Rotación (matemáticas)
Cualquier rotación es un movimiento definido en un determinado espacio que conserva al menos un punto en su posición original.
Una rotación es diferente a otros tipos de movimientos (como la traslación, que no tiene puntos fijos; o la reflexión).
Para un espacio n-dimensional, la rotación se caracteriza por presentar un plano (n-1)-dimensional completo de puntos fijos.
Una rotación en el sentido de las agujas del reloj se considera por convenio una magnitud negativa, y de forma análoga, un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva.
Estos dos tipos de rotación se denominan transformaciones activas y pasivas.
Las primeras a veces se denominan "rotaciones afines" (aunque el término es engañoso), mientras que las segundas son "rotaciones de vectores" (véase el artículo que figura a continuación para más detalles).
El movimiento en un espacio euclídeo es el mismo que su isometría: mantiene la distancia entre dos puntos sin cambios después de la transformación.
El término "rotación impropia"[7] se refiere a isometrías que invierten la orientación.
En dos dimensiones, solo se necesita un ángulo para determinar una rotación sobre el origen de coordenadas: el "ángulo de rotación", que especifica un elemento del grupo circular (también conocido como U(1)).
Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; véase isometría afín para más detalles).
Cuando se consideran movimientos del espacio euclídeo que preservan el origen de coordenadas, la distinción entre puntos y vectores (importante en matemáticas puras) se puede ignorar, porque existe una función biyectiva canónica entre los puntos y los vectores de posición.
tienen la misma magnitud y están separados por un ángulo θ como se esperaba.
Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones, que se describen a continuación.
Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, según se requiera en cada caso.
[17] Más generalmente, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión están representadas por matrices ortogonales.
Las matrices se usan a menudo para hacer transformaciones, especialmente cuando se está transformando un gran número de puntos, ya que son una representación directa del operador lineal.
Se pueden extender para representar rotaciones y transformaciones al mismo tiempo, utilizando coordenadas homogéneas.
También en los cálculos donde la inestabilidad numérica es un problema, las matrices pueden ser más sensibles a esta complicación, por lo que los cálculos para restaurar la ortonormalidad, que son costosos para las matrices, deben realizarse con más frecuencia.
Como se mostró anteriormente, existen tres formas de expresar una rotación en álgebra multilineal: una mediante números complejos para dos dimensiones, y otras dos utilizando versores o cuaterniones, para tres y cuatro dimensiones.
En general (y no necesariamente para vectores euclidianos), la rotación de un espacio vectorial asociado con una forma cuadrática se puede expresar como un bivector.
[19] Las rotaciones sobre un punto fijo en geometrías elípticas e hiperbólicas no son diferentes de las euclídeas.
Pero una rotación en un plano abarcado por una dimensión espacial y una dimensión temporal es una contracción, una transformación entre dos marcos de referencia diferentes, que a veces se denomina "impulso de Lorentz".
A veces se describen como contracciones y aparecen con frecuencia en los diagramas de Minkowski[21] que visualizan una geometría pseudo-euclidiana (1+1) en dibujos planos.
Los grupos puntuales definen simetrías geométricas que mantiene constante por lo menos un punto fijo.
La simetría esférica es una invarianza con respecto a toda rotación sobre un eje fijo.
