Rotación de ejes
En matemáticas, una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de los puntos de un sistema de coordenadas cartesianas xy sobre los puntos de un segundo sistema de coordenadas cartesianas denominado x'y', en la que el origen se mantiene fijo y el los ejes x' e y' se obtienen girando los ejes x e y en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo
[1] En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj a través del ángulo
[2][3] Una rotación de ejes es un aplicación lineal[4][5] y una transformación rígida.
Para utilizar coordenadas en geometría, es habitual que los ejes se coloquen en una posición conveniente con respecto a la curva en cuestión.
Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas, los focos usualmente están ubicados en uno de los ejes y situados simétricamente con respecto al origen.
Si la curva (hipérbola, parábola, elipse, etc.) no está situada convenientemente con respecto a los ejes, es conveniente modificar el sistema de coordenadas para colocar la curva en una ubicación y orientación convenientes y familiares.
[6] Las soluciones a muchos problemas se pueden simplificar girando los ejes de coordenadas para obtener unos nuevos ejes con el mismo origen.
Las ecuaciones que definen la transformación en dos dimensiones, que hace girar los ejes xy en el sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo
en los ejes x'y', se deducen de la siguiente manera: Dado el sistema xy, el punto P tiene las coordenadas polares
Luego, en el sistema x'y', P tendrá coordenadas polares
[1] (8)o Encuéntrense las coordenadas del punto
después de que los ejes hayan sido girados a través del ángulo
Solución: Los ejes se han girado en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo de
Téngase en cuenta que el punto parece haberse girado en el sentido de las agujas del reloj a través de
con respecto a los ejes fijos, por lo que ahora coincide con el (nuevo) eje x'.
después de que los ejes se hayan girado 90° en el sentido de las agujas del reloj, es decir, a través del ángulo
Solución: Los ejes se han girado en un ángulo de
, en el sentido de las agujas del reloj y las nuevas coordenadas son
De nuevo, debe tenerse en cuenta que el punto parece haber sido girado en sentido antihorario a través de
La ecuación más general del segundo grado tiene la forma
Siempre es posible rotar las coordenadas de tal manera que en el nuevo sistema no haya un término x'y'.
, el término x'y' en la ecuación (10) se desvanecerá.
[10] Cuando surge un problema con B, D y E todos diferentes de cero, pueden eliminarse realizando una rotación sucesiva (eliminando B) y una traslación (eliminando los términos D y E) .
[11] Una sección cónica no degenerada dada por la ecuación (9) se puede identificar evaluando
La sección cónica es: Supóngase que un sistema de coordenadas xyz rectangular gira alrededor de su eje z en sentido contrario a las agujas del reloj (mirando hacia abajo el eje positivo z) a través de un ángulo
La coordenada z de cada punto no cambia y las coordenadas x e y se transforman como antes.
Las coordenadas antiguas (x, y, z) están relacionadas con sus nuevas coordenadas (x', y', z') por Generalizando a cualquier número finito de dimensiones, una matriz de rotación
Estos cuatro elementos son de la forma: para algunos
y algunos i ≠ j.[3] Encuéntrense las coordenadas del punto
después de que el eje positivo w haya girado a través del ángulo
