Geometría analítica

Analiza con detalle los datos de las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

El matemático griego Menecmo resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método que tenía un gran parecido con el uso de coordenadas y, en ocasiones, se ha sostenido que había introducido la geometría analítica.

Desarrolló además relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retóricas (expresadas en palabras) de curvas.

Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no lo logró ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori en lugar de a priori.

Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica.

[3]​ El matemático persa del siglo XI Omar Jayam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica[4]​ y geométrica con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales,[5]​ pero el paso decisivo vino después con Descartes.

[7]​: 248 La geometría analítica fue inventada de forma independiente por René Descartes y Pierre de Fermat,[8]​[9]​ aunque a Descartes a veces se le da el crédito exclusivo.

Descartes hizo un progreso significativo con los métodos en un ensayo titulado La Géométrie (La Geometría), uno de los tres ensayos adjuntos (apéndices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias, comúnmente denominado Discurso del método.

La Géométrie, escrita en su lengua materna francesa, y sus principios filosóficos, sirvieron de base para el cálculo en Europa.

Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y ecuaciones complicadas.

[13]​[14]​[15]​ Claramente escrita y bien recibida, la Introducción También sentó las bases para la geometría analítica.

[12]​ Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinómicas de mayor grado.

Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números.

, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda.

, el signo positivo (también se omite) indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (en ningún caso se omiten los signos negativos).

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a

, mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes), perpendiculares entre sí, "x" e "y", con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.

P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades.

P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades.

P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades.

P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades.

Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares.

Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales).

El nacimiento de la geometría analítica se atribuye a Descartes, por el apéndice La Géométrie incluido en su Discurso del método, publicado en 1637, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes.

Omar Khayyam, ya en el siglo XI, utilizó un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, aunque es imposible que Fermat y Descartes hayan tenido acceso a su obra.

Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no solo a la geometría cartesiana (en el sentido mencionado, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (el término "paradójicamente" se debe al hecho de que se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica").

El problema es que durante ese periodo no había una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

[cita requerida] La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional.