Superficie (matemática)
Es una generalización de un plano, pero, a diferencia de un plano, puede ser curvo; esto es análogo a una curva que generaliza una línea recta.
Existen varias definiciones más precisas, dependiendo del contexto y de las herramientas matemáticas que se utilicen para su estudio.
Las superficies matemáticas más simples son los planos y las esferas en el espacio euclídeo.
Típicamente, en geometría algebraica, una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otros singularidades]]), mientras que, en topología y geometría diferencial, puede no hacerlo.
En otras palabras, alrededor de casi todos los puntos hay una carta local coordenada en la que se define un sistema de coordenadas bidimensional.
A menudo, una superficie está definida por ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos.
Por ejemplo, la esfera unidad es una superficie algebraica, ya que puede ser definida por la Una superficie también puede definirse como la imagen, en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no es una curva).
Por ejemplo, la esfera unitaria puede estar parametrizada por los ángulos de Euler, también llamados longitud
por Las ecuaciones paramétricas de las superficies suelen ser irregulares en algunos puntos.
Esto se formaliza con el concepto de variedad: en el contexto de las variedades, típicamente en topología y geometría diferencial, una superficie es una variedad de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene un entorno que es homeomorfo a un subconjunto abierto del plano euclídeo, ver Superficie (topología) y Superficie (geometría diferencial).
Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas, que no están contenidas en ningún otro espacio.
Una superficie paramétrica es la imagen de un subconjunto abierto en el plano euclidiano (normalmente R2 ) por una función continua, en un espacio topológico, generalmente un espacio euclidiano de al menos 3 dimensiones.
Como la imagen de tal función puede ser una curva (por ejemplo, si las 3 Funciones son constantes con respecto a v), se requiere una condición adicional, generalmente que, para casi todos los valores de los parámetros, la matriz jacobiana
Aquí” casi todos” significa que los valores de los parámetros donde el rango es 2 contienen un subconjunto abierto denso del rango de la parametrización.
Un punto p donde la matriz jacobiana anterior tiene rango dos se llama regular, o, más apropiadamente, la parametrización es llamada regular en p. El plano tangente en un punto Regular p es el único plano que pasa a través de p y tiene una dirección paralela a los dos vectores fila de la matriz jacobiana.
en otras palabras, cualquier transformación afín asigna el plano tangente a la superficie en un punto al plano tangente a la imagen de la superficie en la imagen del punto.
[1] Un punto de una superficie paramétrica que no es regular es irregular.
Por otro lado, considere el cono circular de la ecuación paramétrica
Tal punto irregular, donde el plano tangente es indefinido, es expresado como singular.
Esto se hace más exacto por el teorema de la función implícita: si
y la derivada parcial en z de f no es cero en
Este es en particular el caso de las superficies auto cruzadas.
Donde f es un polinomio de tres variables con coeficientes reales El concepto ha sido extendido en varias direcciones, definiendo superficie sobre campos arbitrarios, y considerando las superficies en el espacio de dimensiones arbitrarias o en espacios proyectivos.
Superficies algebraicas abstractas, las cuales no están incluidas explícitamente en otro espacio también se consideran.
Se pasa de una superficie proyectiva a la superficie afín correspondiente asignando a uno alguna coordenada o indeterminada de los polinomios definidores (normalmente el último).
Por el contrario, se pasa de una superficie afín a su superficie proyectiva asociada (llamada terminación proyectiva) al homogeneizar el polinomio definitorio (en el caso de superficies en un espacio de dimensión tres), o al homogeneizar todos los polinomios del ideal definitorio (para superficies en un espacio de dimensión superior).
En primer lugar, los polinomios no deben definir una variedad o un conjunto algebraico de mayor dimensión, que suele ser el caso si uno de los polinomios está en el ideal generado por los demás.
Generalmente, n – 2 polinomios definen un conjunto algebraico de dimensión dos o superior.
Si la dimensión es dos, el conjunto algebraico puede tener varias componentes irreducibles.
Si solo hay un componente el n – 2 los polinomios definen una superficie, que es una intersección completa .
