Función distancia con signo

En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otorgándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S. donde

d ( x , y )

{\displaystyle d(x,S)=\inf _{y\in S}d(x,y)}

es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S. Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo

tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a

c l (

y tomará valores negativos dentro de S. Donde

es el espacio fuera de la superficie y

el espacio encerrado por la superficie.

{\displaystyle \epsilon (S)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\;/\;b_{S}(x)=s\|x-p_{x}\|=s\|x-p_{y}\|,\;s=\pm 1\;y\;p_{x}\neq p_{y}\right\}}

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades: 1.

∈ c l (

{\displaystyle p_{x}\in cl(S)}

tal que

es normal a S en

es Lipschitziana de constante k = 1, es decir,

es diferenciable en casi todos los puntos.

es diferenciable en x si y solo si

y en ese caso existirá un único

tal que

, es solución de la ecuación de la eikonal.

{\displaystyle \forall x\in S,N(x)=\nabla b_{S}(x)}

, es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de

La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

cuyo vector normal es

{\displaystyle (A,B,C)}

Sea S la esfera de centro

( a , b , c )

{\displaystyle (a,b,c)}

y radio r Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.