La ecuación de la eikonal (del alemán eikonal, a su vez del griego εἰκών, imagen[1]) es una ecuación en derivadas parciales con no linealidad encontrada en propagación de ondas, cuando la ecuación de onda es aproximada usando la teoría WKB.
Esto es derivable desde las ecuaciones de Maxwell de electromagnetismo, y proveen un enlace entre óptica física (onda) y óptica geométrica (rayos).
denota el gradiente y |·| es la norma Euclídea.
Típicamente, la función que se encuentra en el lado derecho de la ecuación,
, es conocida y se encuentra bien definida.
es el tiempo más corto necesario para viajar desde el límite (topológico)
es la intensidad del campo eléctrico y
El significado físico de esta ecuación en el ejemplo electromagnético es que cualquier carga que se encuentre en la región se mueve en un ángulo recto respecto las líneas equipotenciales y viaja a lo largo de las líneas de fuerza del campo E y en el sentido dado por su carga.
Las variables correspondientes se producen en el flujo de fluidos y la termodinámica.
Los vectores son normales los rayos de la luz viaja en óptica de rayos.
puede ser considerado una condición inicial, si pensamos que
También podemos resolver la ecuación en un subconjunto de este plano, o sobre una superficie curva, con evidentes modificaciones.
Esto se muestra en la óptica geométrica, por ejemplo, cuando la ecuación es
El afortunado asunto es que, en hipótesis razonables sobre el dato "inicial", la eikonal ecuación admite una solución local.
Por desgracia, una solución global (por ejemplo, una solución para todos los tiempos en el caso de la óptica geométrica) no es posible.
Nota, sin embargo, que uno debe hacer la hipótesis "no-característica"
sobre esas curvas) como Estas ecuaciones tienen una solución para algún intervalo de
sigue desde teoremas estándares de EDO (Usando la hipótesis no-característica).
Estas curvas llenan un conjunto abierto alrededor del plano
Así pues las curvas definen l valor de
Una vez definido como tal es fácil para ver usando la regla de cadena que
Asumiendo por un minuto que esto es posible, para cualquier solución
debemos tener y por tanto En otras palabras, la solución
se dará en un vecindario del plano inicial por una ecuación explícita.
, Iniciando desde diferentes puntos iniciales cruzados la solución puede llegar a ser multi-valente,al punto que hemos desarrollado cáusticas.
, que hemos definido en un barrio de nuestro primer plano, es el gradiente de alguna función
Esta seguirá si demostramos que el vector campo
Considere el primer terminó en la definición de
es Rotacional libre como es el gradiente de una función.
En cuanto a los otros plazo, tomamos nota El resultado sigue