Ecuación de onda
Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo, la mecánica cuántica y la dinámica de fluidos.
Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert (1746) por primera vez, Leonhard Euler (1748), Daniel Bernoulli (1753) y Joseph-Louis Lagrange (1759).
Se hallaron soluciones en diversas formas que ocasionaron discusiones por más de veinticinco años.
La cantidad u puede ser, por ejemplo, una variación de presión del medio en el que se propaga la onda; también puede ser el desplazamiento, respecto a sus posiciones de equilibrio, de las partículas del gas, líquido o sólido al propagarse la onda.
Para un resorte de espiral (un Slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales.
Los dos términos son ondas viajeras: cualquier punto de la forma de onda dada por un argumento específico ya sea F o G se moverá con velocidad c ya sea hacia el frente o hacia atrás: hacia el frente para F y hacia atrás para G, estas funciones pueden ser determinadas para satisfacer condiciones iniciales arbitrarias: El resultado es la fórmula de d'Alembert: En el sentido clásico, si
Sin embargo, las formas de onda F y G también pueden ser generalizadas, tales como la función delta.
Este resultado puede utilizarse para obtener la solución en el espacio de dos dimensiones.
La ecuación de onda no se modifica al rotar las coordenadas espaciales, y por lo tanto uno puede esperar encontrar soluciones que dependan solo de la distancia radial a un punto dado.
Por lo tanto, hay soluciones en la forma donde F y G son funciones arbitrarias.
Cada término puede ser interpretado como una onda esférica que se expande o contrae a una velocidad c. Tales ondas son generadas por una fuente puntual y hacen posible señales agudas cuya forma solo se altera por una disminución en la amplitud cuando r aumenta (véase la ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha).
Tales ondas solo existen en casos de espacios con dimensiones impares.
Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones al trasladar y asumir ondas esféricas.
Hagamos que φ(ξ,η,ζ) sea una función arbitraria de tres variables independientes, y hagamos que la forma de onda esférica F sea una función delta: es decir, dejemos que F sea un pequeño límite de función continua cuya integral sea la unidad, pero cuyo apoyo (la región donde la función es distinta de cero) se reduce al origen.
Hagamos que una familia de ondas esféricas tengan su centro en (ξ,η,ζ) y hagamos que r sea la distancia radial a partir de ese punto.
El fenómeno de las lagunas se ha investigado ampliamente en Atiyah, Bott y Gårding (1970, 1973).
Si entonces la fórmula de la solución en tres dimensiones se convierte en donde α y β son las dos primeras coordenadas en la unidad esférica, y dω es el elemento de área en la esfera.
Una forma general que es apropiada para aplicaciones es donde a y b no son negativos.
El caso en donde se requiere que u desaparezca en un punto final es en el límite de esta condición cuando los respectivos a o b se aproximan al infinito.
Una solución que satisface la condición inicial integrable al cuadrado para u y ut puede ser obtenida a partir de la expansión de estas funciones en las serie trigonométricas apropiadas.
Considere un dominio D en un espacio x de m dimensiones, con frontera B.
Entonces la ecuación de onda será satisfecha si x está en D y
Las condiciones iniciales son donde f y g son definidos en D. Este problema puede ser solucionado mediante la expansión de f y g en las funciones propias del laplaciano en D, que cumplan las condiciones de frontera.
Si B es un círculo, entonces estas autofunciones tienen una componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar θ, multiplicado por una función de Bessel (de orden entero) del componente radial.
La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es la siguiente: con condiciones iniciales dadas por La función
Esto puede observarse en la fórmula de d'Alembert, como se ha señalado anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella.
, entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un determinado punto en un momento dado puede afectar a la amplitud en el mismo punto y tiempo.
Supongamos que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región.
Estas resultan ser bastante fáciles de calcular En lo anterior, el término a ser integrado con respecto al tiempo desaparece debido a que el intervalo involucrado es cero, así
