Teorema de Green
y una integral doble sobre la región plana
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.
Sea C una curva de Jordan simple, positivamente orientada, en un plano y sea D la región limitada por C. Si L y M son funciones de (x, y) definidas en una región abierta conteniendo a D y tiene derivadas parciales continuas allí, entonces:
una región simplemente conexo cuya frontera es una curva
suave a trozos orientada en sentido positivo cerrada, si
es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a
Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región
son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero).
Una demostración similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a
son curvas conectadas por curvas horizontalmente (y otra vez, posiblemente de longitud cero).
Considerando estas dos partes, uno demuestra el teorema para una región de tipo III (definida como una región que es tanto de tipo I como de tipo II).
Puede demostrarse que si y son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la región
Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es válido para regiones de tipo III.
Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos Ahora calculemos la integral de línea para la primera igualdad.
puede ser escrito como la unión de las cuatro regiones
es constante por lo que Por lo que De manera análoga se puede demostrar la segunda igualdad, combinando estos dos resultados, habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III.
entonces Aplicando el teorema de Green Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso.
Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.
El teorema de Green es un caso especial en
su frontera orientada en sentido positivo y
un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre
entonces Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente
Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green: Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes La superficie
) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes).
del teorema de Gauss pues donde
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación.
está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90° hacia la derecha, el cual podría ser
, el lado derecho se convierte en que por medio del teorema de la divergencia resulta Si
es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región
está dada por Demostremos que el área de una elipse con semi ejes
